C语言经典算法-7

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36.排序法 - 改良的选择排序

说明
选择排序法的概念简单，每次从未排序部份选一最小值，插入已排序部份的后端，其时间主要花费于在整个未排序部份寻找最小值，如果能让搜寻最小值的方式加 快，选择排序法的速率也就可以加快，Heap排序法让搜寻的路径由树根至最后一个树叶，而不是整个未排序部份，因而称之为改良的选择排序法。
解法
Heap排序法使用Heap Tree（堆积树），树是一种资料结构，而堆积树是一个二元树，也就是每一个父节点最多只有两个子节点（关于树的详细定义还请见资料结构书籍），堆积树的 父节点若小于子节点，则称之为最小堆积（Min Heap），父节点若大于子节点，则称之为最大堆积（Max Heap），而同一层的子节点则无需理会其大小关系，例如下面就是一个堆积树：

可以使用一维阵列来储存堆积树的所有元素与其顺序，为了计算方便，使用的起始索引是1而不是0，索引1是树根位置，如果左子节点储存在阵列中的索引为s，则其父节点的索引为s/2，而右子节点为s+1，就如上图所示，将上图的堆积树转换为一维阵列之后如下所示：

首先必须知道如何建立堆积树，加至堆积树的元素会先放置在最后一个树叶节点位置，然后检查父节点是否小于子节点（最小堆积），将小的元素不断与父节点交换，直到满足堆积树的条件为止，例如在上图的堆积加入一个元素12，则堆积树的调整方式如下所示：

建立好堆积树之后，树根一定是所有元素的最小值，您的目的就是：
将最小值取出
然后调整树为堆积树

不断重复以上的步骤，就可以达到排序的效果，最小值的取出方式是将树根与最后一个树叶节点交换，然后切下树叶节点，重新调整树为堆积树，如下所示：

调整完毕后，树根节点又是最小值了，于是我们可以重覆这个步骤，再取出最小值，并调整树为堆积树，如下所示：

如此重覆步骤之后，由于使用一维阵列来储存堆积树，每一次将树叶与树根交换的动作就是将最小值放至后端的阵列，所以最后阵列就是变为已排序的状态。

其实堆积在调整的过程中，就是一个选择的行为，每次将最小值选至树根，而选择的路径并不是所有的元素，而是由树根至树叶的路径，因而可以加快选择的过程， 所以Heap排序法才会被称之为改良的选择排序法。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void createheap(int[]); 
void heapsort(int[]); int main(void) { int number[MAX+1] = {-1}; int i, num;  srand(time(NULL)); printf("排序前："); for(i = 1; i <= MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; printf("%d ", number[i]); } printf("\n建立堆积树："); createheap(number); for(i = 1; i <= MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n"); heapsort(number); printf("\n"); return 0; 
} void createheap(int number[]) { int i, s, p; int heap[MAX+1] = {-1}; for(i = 1; i <= MAX; i++) { heap[i] = number[i]; s = i; p = i / 2; while(s >= 2 && heap[p] > heap[s]) { SWAP(heap[p], heap[s]); s = p; p = s / 2; } } for(i = 1; i <= MAX; i++) number[i] = heap[i]; } void heapsort(int number[]) { int i, m, p, s; m = MAX; while(m > 1) { SWAP(number[1], number[m]); m--; p = 1; s = 2 * p; while(s <= m) { if(s < m && number[s+1] < number[s]) s++; if(number[p] <= number[s]) break; SWAP(number[p], number[s]); p = s; s = 2 * p; } printf("\n排序中："); for(i = MAX; i > 0; i--) printf("%d ", number[i]); } 
} 

37.快速排序法（一）

说明快速排序法（quick sort）是目前所公认最快的排序方法之一（视解题的对象而定），虽然快速排序法在最差状况下可以达O(n2)，但是在多数的情况下，快速排序法的效率表现是相当不错的。
快速排序法的基本精神是在数列中找出适当的轴心，然后将数列一分为二，分别对左边与右边数列进行排序，而影响快速排序法效率的正是轴心的选择。
这边所介绍的第一个快速排序法版本，是在多数的教科书上所提及的版本，因为它最容易理解，也最符合轴心分割与左右进行排序的概念，适合对初学者进行讲解。
解法这边所介绍的快速演算如下：将最左边的数设定为轴，并记录其值为 s
廻圈处理：
令索引 i 从数列左方往右方找，直到找到大于 s 的数
令索引 j 从数列左右方往左方找，直到找到小于 s 的数
如果 i >= j，则离开回圈
如果 i < j，则交换索引i与j两处的值
将左侧的轴与 j 进行交换
对轴左边进行递回
对轴右边进行递回

透过以下演算法，则轴左边的值都会小于s，轴右边的值都会大于s，如此再对轴左右两边进行递回，就可以对完成排序的目的，例如下面的实例，表示要交换的数，[]表示轴：
[41]　24　76　11　45　64　21　69　19　36*
[41]　24　36　11　45*　64　21　69　19*　76
[41]　24　36　11　19　64*　21*　69　45　76
[41]　24　36　11　19　21　64　69　45　76
21　24　36　11　19　[41]　64　69　45　76

在上面的例子中，41左边的值都比它小，而右边的值都比它大，如此左右再进行递回至排序完成。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void quicksort(int[], int, int); int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, num;  srand(time(NULL)); printf("排序前："); for(i = 0; i < MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; printf("%d ", number[i]); } quicksort(number, 0, MAX-1); printf("\n排序后："); for(i = 0; i < MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n"); return 0; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, s; if(left < right) { s = number[left]; i = left; j = right + 1; while(1) { // 向右找while(i + 1 < number.length && number[++i] < s) ;  // 向左找  while(j -1 > -1 && number[--j] > s) ;  if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } number[left] = number[j]; number[j] = s; quicksort(number, left, j-1);   // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 } 
} 

38.快速排序法（二）

说明在快速排序法（一）中，每次将最左边的元素设为轴，而之前曾经说过，快速排序法的加速在于轴的选择，在这个例子中，只将轴设定为中间的元素，依这个元素作基准进行比较，这可以增加快速排序法的效率。
解法在这个例子中，取中间的元素s作比较，同样的先得右找比s大的索引 i，然后找比s小的索引 j，只要两边的索引还没有交会，就交换 i 与 j 的元素值，这次不用再进行轴的交换了，因为在寻找交换的过程中，轴位置的元素也会参与交换的动作，例如：
41　24　76　11　45　64　21　69　19　36

首先left为0，right为9，(left+right)/2 = 4（取整数的商），所以轴为索引4的位置，比较的元素是45，您往右找比45大的，往左找比45小的进行交换：
41　24　76*　11　[45]　64　21　69　19　36
41　24　36　11　45　64　21　69　19*　76
41　24　36　11　19　64*　21*　69　45　76
[41　24　36　11　19　21]　[64　69　45　76]

完成以上之后，再初别对左边括号与右边括号的部份进行递回，如此就可以完成排序的目的。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} void quicksort(int[], int, int); int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, num;  srand(time(NULL)); printf("排序前："); for(i = 0; i < MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; printf("%d ", number[i]); } quicksort(number, 0, MAX-1); printf("\n排序后："); for(i = 0; i < MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n"); return 0; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int i, j, s; if(left < right) { s = number[(left+right)/2]; i = left - 1; j = right + 1; while(1) { while(number[++i] < s) ;  // 向右找 while(number[--j] > s) ;  // 向左找 if(i >= j) break; SWAP(number[i], number[j]); } quicksort(number, left, i-1);   // 对左边进行递回 quicksort(number, j+1, right);  // 对右边进行递回 } 
} 

39.快速排序法（三）

说明
之前说过轴的选择是快速排序法的效率关键之一，在这边的快速排序法的轴选择方式更加快了快速排序法的效率，它是来自演算法名书 Introduction to Algorithms 之中。
解法
先说明这个快速排序法的概念，它以最右边的值s作比较的标准，将整个数列分为三个部份，一个是小于s的部份，一个是大于s的部份，一个是未处理的部份，如下所示 ：

在排序的过程中，i 与 j 都会不断的往右进行比较与交换，最后数列会变为以下的状态：

然后将s的值置于中间，接下来就以相同的步骤会左右两边的数列进行排序的动作，如下所示：

整个演算的过程，直接摘录书中的虚拟码来作说明：

QUICKSORT(A, p, r) if p < r then q <- PARTITION(A, p, r) QUICKSORT(A, p, q-1) QUICKSORT(A, q+1, r) 
end QUICKSORT PARTITION(A, p, r) x <- A[r] i <- p-1 for j <- p to r-1 do if A[j] <= x then  i <- i+1 exchange A[i]<->A[j] exchange A[i+1]<->A[r] return i+1 
end PARTITION  

一个实际例子的演算如下所示：

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} int partition(int[], int, int); 
void quicksort(int[], int, int); int main(void) { int number[MAX] = {0}; int i, num;  srand(time(NULL)); printf("排序前："); for(i = 0; i < MAX; i++) { number[i] = rand() % 100; printf("%d ", number[i]); } quicksort(number, 0, MAX-1); printf("\n排序后："); for(i = 0; i < MAX; i++) printf("%d ", number[i]); printf("\n"); return 0; 
} int partition(int number[], int left, int right) { int i, j, s; s = number[right]; i = left - 1; for(j = left; j < right; j++) { if(number[j] <= s) { i++; SWAP(number[i], number[j]); } } SWAP(number[i+1], number[right]); return i+1; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int q; if(left < right) { q = partition(number, left, right); quicksort(number, left, q-1); quicksort(number, q+1, right); } 
} 

40.合并排序法

说明之前所介绍的排序法都是在同一个阵列中的排序，考虑今日有两笔或两笔以上的资料，它可能是不同阵列中的资料，或是不同档案中的资料，如何为它们进行排序？
解法可以使用合并排序法，合并排序法基本是将两笔已排序的资料合并并进行排序，如果所读入的资料尚未排序，可以先利用其它的排序方式来处理这两笔资料，然后再将排序好的这两笔资料合并。

有人问道，如果两笔资料本身就无排序顺序，何不将所有的资料读入，再一次进行排序？排序的精神是尽量利用资料已排序的部份，来加快排序的效率，小笔资料的 排序较为快速，如果小笔资料排序完成之后，再合并处理时，因为两笔资料都有排序了，所有在合并排序时会比单纯读入所有的资料再一次排序来的有效率。

那么可不可以直接使用合并排序法本身来处理整个排序的动作？而不动用到其它的排序方式？答案是肯定的，只要将所有的数字不断的分为两个等分，直到最后剩一个数字为止，然后再反过来不断的合并，就如下图所示：

不过基本上分割又会花去额外的时间，不如使用其它较好的排序法来排序小笔资料，再使用合并排序来的有效率。
下面这个程式范例，我们使用快速排序法来处理小笔资料排序，然后再使用合并排序法处理合并的动作。

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#include <time.h> 
#define MAX1 10 
#define MAX2 10 
#define SWAP(x,y) {int t; t = x; x = y; y = t;} int partition(int[], int, int); 
void quicksort(int[], int, int); 
void mergesort(int[], int, int[], int, int[]); int main(void) { int number1[MAX1] = {0}; int number2[MAX1] = {0}; int number3[MAX1+MAX2] = {0}; int i, num;  srand(time(NULL)); printf("排序前："); printf("\nnumber1[]："); for(i = 0; i < MAX1; i++) { number1[i] = rand() % 100; printf("%d ", number1[i]); } printf("\nnumber2[]："); for(i = 0; i < MAX2; i++) { number2[i] = rand() % 100; printf("%d ", number2[i]); } // 先排序两笔资料 quicksort(number1, 0, MAX1-1); quicksort(number2, 0, MAX2-1); printf("\n排序后："); printf("\nnumber1[]："); for(i = 0; i < MAX1; i++) printf("%d ", number1[i]); printf("\nnumber2[]："); for(i = 0; i < MAX2; i++) printf("%d ", number2[i]); // 合并排序 mergesort(number1, MAX1, number2, MAX2, number3); printf("\n合并后："); for(i = 0; i < MAX1+MAX2; i++) printf("%d ", number3[i]); printf("\n"); return 0; 
} int partition(int number[], int left, int right) { int i, j, s; s = number[right]; i = left - 1; for(j = left; j < right; j++) { if(number[j] <= s) { i++; SWAP(number[i], number[j]); } } SWAP(number[i+1], number[right]); return i+1; 
} void quicksort(int number[], int left, int right) { int q; if(left < right) { q = partition(number, left, right); quicksort(number, left, q-1); quicksort(number, q+1, right); } 
} void mergesort(int number1[], int M, int number2[], int N, int number3[]) { int i = 0, j = 0, k = 0; while(i < M && j < N) { if(number1[i] <= number2[j]) number3[k++] = number1[i++]; else number3[k++] = number2[j++]; } while(i < M) number3[k++] = number1[i++]; while(j < N) number3[k++] = number2[j++]; 
} 

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