【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 3305. 作物杂交

一、题目

1、原题链接

3305. 作物杂交

2、题目描述

作物杂交是作物栽培中重要的一步。

已知有 N 种作物 (编号 1 至 N)，第 i 种作物从播种到成熟的时间为 Ti。

作物之间两两可以进行杂交，杂交时间取两种中时间较长的一方。

如作物 A 种植时间为 5 天，作物 B 种植时间为 7 天，则 AB 杂交花费的时间为 7 天。

作物杂交会产生固定的作物，新产生的作物仍然属于 N 种作物中的一种。

初始时，拥有其中 M 种作物的种子 (数量无限，可以支持多次杂交)。

同时可以进行多个杂交过程。

求问对于给定的目标种子，最少需要多少天能够得到。

如存在 4 种作物 ABCD，各自的成熟时间为 5 天、7 天、3 天、8 天。

初始拥有 AB 两种作物的种子，目标种子为 D，已知杂交情况为 A×B→C，A×C→D。

则最短的杂交过程为：

第 1 天到第 7 天 (作物 B 的时间)，A×B→C。

第 8 天到第 12 天 (作物 A 的时间)，A×C→D。

花费 12 天得到作物 D 的种子。

输入格式

输入的第 1 行包含 4 个整数 N,M,K,T，N 表示作物种类总数 (编号 1 至 N)，M 表示初始拥有的作物种子类型数量，K
表示可以杂交的方案数，T 表示目标种子的编号。

第 2 行包含 N 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 种作物的种植时间 Ti。

第 3 行包含 M 个整数，分别表示已拥有的种子类型 Kj，Kj 两两不同。

第 4 至 K+3 行，每行包含 3 个整数 A,B,C，表示第 A 类作物和第 B 类作物杂交可以获得第 C 类作物的种子。

输出格式

输出一个整数，表示得到目标种子的最短杂交时间。

样例解释

1≤N≤2000,2≤M≤N,1≤K≤10⁵,1≤T≤N,1≤Ti≤100,1≤Kj≤M,
保证目标种子一定可以通过杂交得到。
不保证作物 A 和 B 杂交只能生成作物 C（也就是说，A×B→C 和 A×B→D 可能同时在输入中出现）
不保证作物 C 只能由作物 A 和 B 杂交生成（也就是说，A×B→D 和 A×C→D 可能同时在输入中出现）。
不保证同一杂交公式不在输入中重复出现。

输入样例：

6 2 4 6
5 3 4 6 4 9
1 2
1 2 3
1 3 4
2 3 5
4 5 6

输出样例：

16

样例解释

第 1 天至第 5 天，将编号 1 与编号 2 的作物杂交，得到编号 3 的作物种子。

第 6 天至第 10 天，将编号 1 与编号 3 的作物杂交，得到编号 4 的作物种子。

第 6 天至第 9 天，将编号 2 与编号 3 的作物杂交，得到编号 5 的作物种子。

第 11 天至第 16 天，将编号 4 与编号 5 的作物杂交，得到编号 6 的作物种子。

总共花费 16 天。

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

动态规划解法（spfa思想求解）
（1）dist数组含义：dist[i][j]表示在杂交次数小于等于i的方法中，生成j所需花费的最小时间。
（2）按最后一次的杂交方式进行划分，最多可以分为k种。
（3）转移方程：当最后一次杂交（假设为A、B杂交）确定后，要使总时间最小，则使将A、B都生成所花费的时间最小即可。即 dist[i][j]=max(dist[i-1][A],dist[i-1][B])+max(T[A],T[B])（T[i]代表生成i需要花费的时间）。
（4）利用spfa进行优化：只有一个点被更新过才需要利用它来更新其他点，并且dist[][]的第一维可以被优化。
（5）利用上述思路进行模拟即可，输出dist[t]即为答案。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(n*k)

3、代码详解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=2010,M=200010;   //N代表点数（作物数），M代表边数，每种作物最多可能有k种杂交方式，所以M开成N*k数量级
int h[N],e[M],ne[M],w[N],target[M],idx;  //类似邻接表存储所有的杂交方式，w[]存储生成每种作物需要花费的时间，target[i]存储利用i杂交可以生成的目标种子，w[i]存储生成i需要的时间
int n,m,k,t;
int dist[N];
bool st[N];
queue<int> q;
//类似邻接表加边
void add(int a,int b,int c){e[idx]=b;target[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
//spfa思路来填充dist数组
void spfa(){while(!q.empty()){int A=q.front();q.pop();st[A]=false;for(int i=h[A];i!=-1;i=ne[i]){int B=e[i],T=target[i];if(dist[T]>max(dist[A],dist[B])+max(w[A],w[B])){dist[T]=max(dist[A],dist[B])+max(w[A],w[B]);if(!st[T]){st[T]=true;q.push(T);}}}}
}int main(){cin>>n>>m>>k>>t;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=n;i++){cin>>w[i];}memset(dist,0x3f,sizeof dist);while(m--){int x;cin>>x;dist[x]=0;           //初始作物已有，不需要生成，所以生成时间为0st[x]=true;q.push(x);}while(k--){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c);     //因为填充dist[a]和dist[b]时都需要知道利用它的杂交方式，所以得是无向边，便于访问          add(b,a,c);}spfa();cout<<dist[t];return 0;
}

三、知识风暴

Spfa算法

• spfa算法为队列优化的Bellman-Ford算法。
• 基本思想：在Bellman-Ford算法基础上，不是每次都进行松弛操作（如果存在边(a,b,c)，即a到b的边且边权为c，而且dist[a]>dist[b]+c（dist[i]存储1号点到i号点的最短路径的长度）即可进行松弛），而是如果一个点被更新过，将它加入队列中，然后利用它来松弛其他点，然后将该点弹出，再将更新过的点加入队列中，循环往复，直到队列为空，算法结束。