当前位置：首页 > news >正文

【拓扑空间】示例及详解1

news 2025/12/21 16:07:29

例1

度量空间 $(X,d)$ 的任意两球形邻域的交集是若干球形邻域的并集

Proof：

任取空间 $(X,d)$ 的两个球形邻域 $B(x_1,\varepsilon _1)$ 、 $B(x_2,\varepsilon _2)$ ，令 $U=B(x_1,\varepsilon _1)\cap B(x_2,\varepsilon _2)$

任取 $x\in U$ ,令 $\varepsilon_x=min\left \{ \varepsilon_1-d(x_1,x), \varepsilon_2-d(x_2,x) \right \}$

$\Rightarrow B(x,\varepsilon_x)\subseteq U$

$\Rightarrow U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)$

球形领域 $B(x_0,\varepsilon )=\left \{ x \in X : d(x,x_0)< \varepsilon,x_0\in X,\varepsilon >0 \right \}$

例2

规定X的子集族 $\tau_d=\left \{ U:U\ is \ union \ of\ spherical \ neighborhoods \right \}$ ,证明 $\tau_d$ 是X上的一个拓扑

Proof：

1. $\varnothing \in \tau_d$

$X=\bigcup_{x\in X}B(x,\varepsilon_x) \in \tau_d$

2. $\forall u_1,u_2 \in \tau_d, u_1\cup u_2 \ is \ union\ of\ spherical\ neighboorhoods$ , $u_1\cup u_2\in\tau_d$

（若干个球形邻域的并集都是 $\tau_d$ 的元素，元素间的任意并依旧是若干个球形邻域的并集，故对任意并封闭）

3. $\begin{gathered}\exists u_1,u_2\in\tau_d,u_1=\bigcup_{\alpha }B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}),u_2=\bigcup_{\beta}B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta}).\end{gathered}$

$\begin{gathered} u_1\cap u_2=\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) \\ =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right) \end{gathered}$

$let \ U =B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})$

$\forall x \in U,let \ \varepsilon_x=min\left \{ d(x,x_\alpha),d(x,x_\beta) \right \}$

$then,U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)$

$\begin{gathered} then,u_1\cap u_2=\bigcup_{\alpha,\beta}\left(\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)\right) \end{gathered},so \ u_1\cap u_2 \in \tau_d$

$therefore \ \tau_d \ is \ a \ topo \ in\ X$

拓扑：=

1. $X,\varnothing \in \tau$

2.任意并封闭

3.有限交封闭

$\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right)$

一般称 $\tau_d$ 为X上由度量d决定的度量拓扑

每个度量空间都可以看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而欧氏空间 $E^{n}$ 也是拓扑空间，其度量拓扑称为欧氏拓扑。

从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广，拓扑公理也是从度量空间的开集的基本性质中抽象出来的。

【拓扑空间】示例及详解1

例1 度量空间的任意两球形邻域的交集是若干球形邻域的并集 Proof： 任取空间的两个球形邻域、，令任取,令球形领域例2 规定X的子集族,证明是X上的一个拓扑 Proof： 1. 2., （若干个球形邻域的并集都是的元素，元素…...

编程日记 2024/4/5 20:24:31

linux安装jdk8

上传到某个目录，例如：/usr/local/ tar -xvf jdk-8u144-linux-x64.tar.gz配置环境变量： export JAVA_HOME/usr/local/java export PATH$PATH:$JAVA_HOME/bin设置环境变量： source /etc/profile...

编程日记 2024/4/5 20:23:30

Spring重点知识（个人整理笔记）

目录 1. 为什么要使用 spring？ 2. 解释一下什么是 Aop？ 3. AOP有哪些实现方式？ 4. Spring AOP的实现原理 5. JDK动态代理和CGLIB动态代理的区别？ 6. 解释一下什么是 ioc？ 7. spring 有哪些主要模块？…...

编程日记 2024/4/5 20:21:29

HTML基础知识详解（上）（如何想知道html的全部基础知识点，那么只看这一篇就足够了！）

前言：在学习前端基础时，必不可少的就是三大件（html、css、javascript ），而HTML（超文本标记语言——HyperText Markup Language）是构成 Web 世界的一砖一瓦，它定义了网页内容的含义和…...

编程日记 2024/4/5 20:18:26

如何借助Idea创建多模块的SpringBoot项目

目录 1.1、前言1.2、开发环境1.3、项目多模块结构1.4、新建父工程1.5、创建子模块1.6、编辑父工程的pom.xml文件 1.1、前言 springmvc项目，一般会把项目分成多个包:controler、service、dao、utl等，但是随着项目的复杂性提高，想复用其他一个模…...

编程日记 2024/4/5 20:16:24

爬虫新闻网站并存储到CSV文件以红网为例 V1.0

爬虫：红网网站， 获取当月指定关键词新闻，并存储到CSV文件 V1.0 目标网站：红网爬取目的：为了获取某一地区更全面的在红网已发布的宣传新闻稿，同时也让自己的工作更便捷环境：Pycharm2021&#…...

编程日记 2024/4/5 20:12:21

CentOS 使用 Cronie 实现定时任务

CentOS 使用 Cronie 实现定时任务文章目录 CentOS 使用 Cronie 实现定时任务一、简介二、基本使用1、常用命令2、使用示例第一步：创建脚本/home/create.sh第二步：添加定时任务第三步：重启 cronie 服务额外：查看 cronie 运行状态定…...

编程日记 2024/4/5 20:07:16

java生成word

两种方案一、poi-tl生成word <dependency><groupId>com.deepoove</groupId><artifactId>poi-tl</artifactId><version>1.12.1</version> </dependency> public static void main(String[] args) throws Exception {String…...

编程日记 2024/4/5 20:06:14

C语言中的结构体：揭秘数据的魔法盒

前言在C语言的广阔天地中，结构体无疑是一颗璀璨的明珠。它就像是一个魔法盒，能够容纳各种不同类型的数据，并按我们的意愿进行组合和排列。那么，这个魔法盒究竟有何神奇之处呢？让我们一探究竟。一、结构体的诞生&…...

编程日记 2024/4/5 20:04:11

Listener

文章目录 ListenerServletContextListenerServletContextAttributeListenerHttpSessionListenerHttpSessionAttributeListenerServletRequestListenerServletRequestAttributeListenerHttpSessionBindingListenerHttpSessionActivationListener Listener Listener 监听器它是 J…...

编程日记 2024/4/5 20:01:08

单细胞RNA测序（scRNA-seq）SRA数据下载及fastq-dumq数据拆分

单细胞RNA测序（scRNA-seq）入门可查看以下文章： 单细胞RNA测序（scRNA-seq）工作流程入门单细胞RNA测序（scRNA-seq）细胞分离与扩增 1. NCBI查询scRNA-seq SRA数据 NCBI地址： https…...

编程日记 2024/4/5 19:59:06

金蝶Apusic应用服务器未授权目录遍历漏洞复现

0x01 产品简介金蝶Apusic应用服务器（Apusic Application Server，AAS）是一款标准、安全、高效、集成并具丰富功能的企业级应用服务器软件，全面支持JakartaEE8/9的技术规范，提供满足该规范的Web容器、EJB容器以及WebService容器等，支持Websocket1.1、Servlet4.0、HTTP2.0…...

编程日记 2024/4/5 19:57:04

成都百洲文化传媒有限公司电商服务的新领军者

在当今数字化时代，电商行业正以前所未有的速度蓬勃发展。在这个大背景下，成都百洲文化传媒有限公司凭借其深厚的行业经验和精湛的专业技能，正迅速崛起为电商服务领域的新领军者。一、专业引领，成就卓越作为一家专注于电商服务的…...

编程日记 2024/4/5 19:51:59

从无到有开始创建动态顺序表——C语言实现

顺序表的概念顺序表的底层结构是数组，对数组的封装，实现了常用的增删改查等接口。在物理结构和逻辑结构都是连续的，物理结构是指顺序表在计算机内存的存储方式，逻辑结构是我们思考的形式，顺序表和数组是类似的&#x…...

编程日记 2024/4/5 19:50:58

Unix 网络编程, Socket 以及bind（）, listen（）, accept（）, connect（）, read（）write（）五大函数简介

Unix网络编程是针对类Unix操作系统（包括Linux、BSD以及其他遵循POSIX标准的操作系统）进行网络通信开发的技术领域。网络编程涉及创建和管理网络连接、交换数据以及处理不同层次网络协议栈上的各种网络事件。在Unix环境中，网络编程通常涉及到以…...

编程日记 2024/4/5 19:49:57

【附下载】2024全行业数字化转型企业建设解决方案PPT合集

精品推荐，2024全行业数字化转型企业建设解决方案PPT合集，精品PPT源格式共21份。以下是资料目录，如需下载，请前往星球获取： 1.制造业数字化转型解决方案及应用.pptx 2.医院数字化网络解决方案.pptx 3.食品饮料工厂数字…...

编程日记 2024/4/5 19:48:56

【QT+QGIS跨平台编译】056：【pdal_lepcc+Qt跨平台编译】（一套代码、一套框架，跨平台编译）

点击查看专栏目录文章目录一、pdal_lepcc介绍二、pdal下载三、文件分析四、pro文件五、编译实践一、pdal_lepcc介绍 pdal_lepcc 是 PDAL（Point Data Abstraction Library）的一个插件，用于点云数据的压缩。它基于 EPCC（Entwine Point Cloud Compression）算法，提供了对点…...

编程日记 2024/4/5 19:47:55

蓝桥集训之斐波那契数列

蓝桥集训之斐波那契数列核心思想：矩阵乘法将原本O(n)的递推算法优化为O(log2n) 构造1x2矩阵f和2x2矩阵a 发现f(n1) f(n) * a 则f(n1) f(1) * an可以用快速幂优化 #include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using na…...

编程日记 2024/4/5 19:43:51

程序员的工资是多少，和曹操有莫大的关系

曹操是谁大家都知道了吧，他是三国时期的一个有名的大老板，谁知道曹操的工资是多少呢？这个其实也不好说，有时候曹操赚很多的钱，有时候也亏血本，甚至连脑袋都差点掉了。创业不容易啊，曹老板也是如…...

编程日记 2024/4/5 19:42:50

使用Element Plus

1. 官网安装安装 | Element Plus (gitee.io) 安装： npm install element-plus --save 在main.ts中全局注册ElementPlus并使用 //加入element-plus import ElementPlus from element-plus; //加入element-plus样式 import element-plus/dist/index.css; import…...

编程日记 2024/4/5 19:41:49

利用最小二乘法找圆心和半径

#include <iostream> #include <vector> #include <cmath> #include <Eigen/Dense> // 需安装Eigen库用于矩阵运算 // 定义点结构 struct Point { double x, y; Point(double x_, double y_) : x(x_), y(y_) {} }; // 最小二乘法求圆心和半径 …...

编程新知 2025/12/20 13:11:40

springboot 百货中心供应链管理系统小程序

一、前言随着我国经济迅速发展，人们对手机的需求越来越大，各种手机软件也都在被广泛应用，但是对于手机进行数据信息管理，对于手机的各种软件也是备受用户的喜爱，百货中心供应链管理系统被用户普遍使用，为方…...

编程新知 2025/12/10 15:27:46

什么？连接服务器也能可视化显示界面？：基于X11 Forwarding + CentOS + MobaXterm实战指南

文章目录什么是X11？环境准备实战步骤1️⃣ 服务器端配置（CentOS）2️⃣ 客户端配置（MobaXterm）3️⃣ 验证X11 Forwarding4️⃣ 运行自定义GUI程序(Python示例)5️⃣ 成功效果![在这里插入图片描述](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/55aefaea8a9f477e86d065227851fe3d.pn…...

编程新知 2025/10/2 17:12:14

优选算法第十二讲：队列 + 宽搜优先级队列

优选算法第十二讲：队列宽搜 && 优先级队列 1.N叉树的层序遍历2.二叉树的锯齿型层序遍历3.二叉树最大宽度4.在每个树行中找最大值5.优先级队列 -- 最后一块石头的重量6.数据流中的第K大元素7.前K个高频单词8.数据流的中位数 1.N叉树的层序遍历 2.二叉树的锯…...

编程新知 2025/12/19 21:20:10

项目部署到Linux上时遇到的错误（Redis，MySQL，无法正确连接，地址占用问题）

Redis无法正确连接在运行jar包时出现了这样的错误查询得知问题核心在于Redis连接失败，具体原因是客户端发送了密码认证请求，但Redis服务器未设置密码 1.为Redis设置密码（匹配客户端配置） 步骤： 1）.修…...

编程新知 2025/12/19 21:20:08

技术栈RabbitMq的介绍和使用

目录 1. 什么是消息队列？2. 消息队列的优点3. RabbitMQ 消息队列概述4. RabbitMQ 安装5. Exchange 四种类型5.1 direct 精准匹配5.2 fanout 广播5.3 topic 正则匹配 6. RabbitMQ 队列模式6.1 简单队列模式6.2 工作队列模式6.3 发布/订阅模式6.4 路由模式6.5 主题模式…...

编程新知 2025/12/15 11:24:02

无人机侦测与反制技术的进展与应用

国家电网无人机侦测与反制技术的进展与应用引言随着无人机（无人驾驶飞行器，UAV）技术的快速发展，其在商业、娱乐和军事领域的广泛应用带来了新的安全挑战。特别是对于关键基础设施如电力系统，无人机的“黑飞”&…...

编程新知 2025/12/21 9:19:45

站群服务器的应用场景都有哪些？

站群服务器主要是为了多个网站的托管和管理所设计的，可以通过集中管理和高效资源的分配，来支持多个独立的网站同时运行，让每一个网站都可以分配到独立的IP地址，避免出现IP关联的风险，用户还可以通过控制面板进行管理功…...

编程新知 2025/9/1 19:01:24

scikit-learn机器学习

# 同时添加如下代码, 这样每次环境(kernel)启动的时候只要运行下方代码即可: # Also add the following code, # so that every time the environment (kernel) starts, # just run the following code: import sys sys.path.append(/home/aistudio/external-libraries)机…...

编程新知 2025/7/5 19:39:42

快刀集(1): 一刀斩断视频片头广告

一刀流：用一个简单脚本，秒杀视频片头广告，还你清爽观影体验。 1. 引子作为一个爱生活、爱学习、爱收藏高清资源的老码农，平时写代码之余看看电影、补补片，是再正常不过的事。电影嘛，要沉浸，…...

编程新知 2025/9/3 5:42:53

例1

例2

相关文章：