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【拓扑空间】示例及详解1

news 2026/2/7 13:24:03

例1 

度量空间(X,d)的任意两球形邻域的交集是若干球形邻域的并集

Proof：

任取空间(X,d)的两个球形邻域B(x_1,\varepsilon _1)、B(x_2,\varepsilon _2)，令U=B(x_1,\varepsilon _1)\cap B(x_2,\varepsilon _2)

任取x\in U,令\varepsilon_x=min\left \{ \varepsilon_1-d(x_1,x), \varepsilon_2-d(x_2,x) \right \}

\Rightarrow B(x,\varepsilon_x)\subseteq U

\Rightarrow U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)

球形领域B(x_0,\varepsilon )=\left \{ x \in X : d(x,x_0)< \varepsilon,x_0\in X,\varepsilon >0 \right \}

例2

规定X的子集族\tau_d=\left \{ U:U\ is \ union \ of\ spherical \ neighborhoods \right \},证明\tau_d是X上的一个拓扑

Proof：

1.\varnothing \in \tau_d

X=\bigcup_{x\in X}B(x,\varepsilon_x) \in \tau_d

2.\forall u_1,u_2 \in \tau_d, u_1\cup u_2 \ is \ union\ of\ spherical\ neighboorhoods,u_1\cup u_2\in\tau_d

（若干个球形邻域的并集都是\tau_d的元素，元素间的任意并依旧是若干个球形邻域的并集，故对任意并封闭）

3.\begin{gathered}\exists u_1,u_2\in\tau_d,u_1=\bigcup_{\alpha }B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}),u_2=\bigcup_{\beta}B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta}).\end{gathered}

\begin{gathered} u_1\cap u_2=\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) \\ =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right) \end{gathered}

let \ U =B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})

\forall x \in U,let \ \varepsilon_x=min\left \{ d(x,x_\alpha),d(x,x_\beta) \right \}

then,U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)

\begin{gathered} then,u_1\cap u_2=\bigcup_{\alpha,\beta}\left(\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)\right) \end{gathered},so \ u_1\cap u_2 \in \tau_d

therefore \ \tau_d \ is \ a \ topo \ in\ X

拓扑：=

1.X,\varnothing \in \tau

2.任意并封闭

3.有限交封闭

\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right)

一般称\tau_d为X上由度量d决定的度量拓扑

每个度量空间都可以看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而欧氏空间E^{n}也是拓扑空间，其度量拓扑称为欧氏拓扑。 

从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广，拓扑公理也是从度量空间的开集的基本性质中抽象出来的。

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