当前位置： 首页 > news >正文

【拓扑空间】示例及详解1

news 2026/3/27 13:13:48

例1 

度量空间(X,d)的任意两球形邻域的交集是若干球形邻域的并集

Proof：

任取空间(X,d)的两个球形邻域B(x_1,\varepsilon _1)、B(x_2,\varepsilon _2)，令U=B(x_1,\varepsilon _1)\cap B(x_2,\varepsilon _2)

任取x\in U,令\varepsilon_x=min\left \{ \varepsilon_1-d(x_1,x), \varepsilon_2-d(x_2,x) \right \}

\Rightarrow B(x,\varepsilon_x)\subseteq U

\Rightarrow U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)

球形领域B(x_0,\varepsilon )=\left \{ x \in X : d(x,x_0)< \varepsilon,x_0\in X,\varepsilon >0 \right \}

例2

规定X的子集族\tau_d=\left \{ U:U\ is \ union \ of\ spherical \ neighborhoods \right \},证明\tau_d是X上的一个拓扑

Proof：

1.\varnothing \in \tau_d

X=\bigcup_{x\in X}B(x,\varepsilon_x) \in \tau_d

2.\forall u_1,u_2 \in \tau_d, u_1\cup u_2 \ is \ union\ of\ spherical\ neighboorhoods,u_1\cup u_2\in\tau_d

（若干个球形邻域的并集都是\tau_d的元素，元素间的任意并依旧是若干个球形邻域的并集，故对任意并封闭）

3.\begin{gathered}\exists u_1,u_2\in\tau_d,u_1=\bigcup_{\alpha }B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}),u_2=\bigcup_{\beta}B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta}).\end{gathered}

\begin{gathered} u_1\cap u_2=\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) \\ =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right) \end{gathered}

let \ U =B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})

\forall x \in U,let \ \varepsilon_x=min\left \{ d(x,x_\alpha),d(x,x_\beta) \right \}

then,U=\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)

\begin{gathered} then,u_1\cap u_2=\bigcup_{\alpha,\beta}\left(\bigcup_{x\in U}B(x,\varepsilon_x)\right) \end{gathered},so \ u_1\cap u_2 \in \tau_d

therefore \ \tau_d \ is \ a \ topo \ in\ X

拓扑：=

1.X,\varnothing \in \tau

2.任意并封闭

3.有限交封闭

\left(\bigcup_\alpha B(x_\alpha,\varepsilon_\alpha)\right)\bigcap\left(\bigcup_\beta B(x_\beta,\varepsilon_\beta)\right) =\bigcup_{\alpha,\beta}\left(B(x_{a},\varepsilon_{a})\bigcap B(x_{\beta},\varepsilon_{\beta})\right)

一般称\tau_d为X上由度量d决定的度量拓扑

每个度量空间都可以看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而欧氏空间E^{n}也是拓扑空间，其度量拓扑称为欧氏拓扑。 

从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广，拓扑公理也是从度量空间的开集的基本性质中抽象出来的。

​​​​​​​

相关文章：

【拓扑空间】示例及详解1

例1 度量空间的任意两球形邻域的交集是若干球形邻域的并集 Proof&#xff1a; 任取空间的两个球形邻域、&#xff0c;令 任取,令 球形领域 例2 规定X的子集族,证明是X上的一个拓扑 Proof&#xff1a; 1. 2., &#xff08;若干个球形邻域的并集都是的元素&#xff0c;元素…...

编程日记 2024/4/5 20:24:31

linux安装jdk8

上传到某个目录&#xff0c;例如&#xff1a;/usr/local/ tar -xvf jdk-8u144-linux-x64.tar.gz配置环境变量&#xff1a; export JAVA_HOME/usr/local/java export PATH$PATH:$JAVA_HOME/bin设置环境变量&#xff1a; source /etc/profile...

编程日记 2024/4/5 20:23:30

Spring重点知识（个人整理笔记）

目录 1. 为什么要使用 spring&#xff1f; 2. 解释一下什么是 Aop&#xff1f; 3. AOP有哪些实现方式&#xff1f; 4. Spring AOP的实现原理 5. JDK动态代理和CGLIB动态代理的区别&#xff1f; 6. 解释一下什么是 ioc&#xff1f; 7. spring 有哪些主要模块&#xff1f;…...

编程日记 2024/4/5 20:21:29

HTML基础知识详解（上）（如何想知道html的全部基础知识点，那么只看这一篇就足够了！）

前言&#xff1a;在学习前端基础时&#xff0c;必不可少的就是三大件&#xff08;html、css、javascript &#xff09;&#xff0c;而HTML&#xff08;超文本标记语言——HyperText Markup Language&#xff09;是构成 Web 世界的一砖一瓦&#xff0c;它定义了网页内容的含义和…...

编程日记 2024/4/5 20:18:26

如何借助Idea创建多模块的SpringBoot项目

目录 1.1、前言1.2、开发环境1.3、项目多模块结构1.4、新建父工程1.5、创建子模块1.6、编辑父工程的pom.xml文件 1.1、前言 springmvc项目&#xff0c;一般会把项目分成多个包:controler、service、dao、utl等&#xff0c;但是随着项目的复杂性提高&#xff0c;想复用其他一个模…...

编程日记 2024/4/5 20:16:24

爬虫 新闻网站 并存储到CSV文件 以红网为例 V1.0

爬虫&#xff1a;红网网站&#xff0c; 获取当月指定关键词新闻&#xff0c;并存储到CSV文件 V1.0 目标网站&#xff1a;红网 爬取目的&#xff1a;为了获取某一地区更全面的在红网已发布的宣传新闻稿&#xff0c;同时也让自己的工作更便捷 环境&#xff1a;Pycharm2021&#…...

编程日记 2024/4/5 20:12:21

CentOS 使用 Cronie 实现定时任务

CentOS 使用 Cronie 实现定时任务 文章目录 CentOS 使用 Cronie 实现定时任务一、简介二、基本使用1、常用命令2、使用示例第一步&#xff1a;创建脚本/home/create.sh第二步&#xff1a;添加定时任务第三步&#xff1a;重启 cronie 服务额外&#xff1a;查看 cronie 运行状态定…...

编程日记 2024/4/5 20:07:16

java生成word

两种方案 一、poi-tl生成word <dependency><groupId>com.deepoove</groupId><artifactId>poi-tl</artifactId><version>1.12.1</version> </dependency> public static void main(String[] args) throws Exception {String…...

编程日记 2024/4/5 20:06:14

C语言中的结构体：揭秘数据的魔法盒

前言 在C语言的广阔天地中&#xff0c;结构体无疑是一颗璀璨的明珠。它就像是一个魔法盒&#xff0c;能够容纳各种不同类型的数据&#xff0c;并按我们的意愿进行组合和排列。那么&#xff0c;这个魔法盒究竟有何神奇之处呢&#xff1f;让我们一探究竟。 一、结构体的诞生&…...

编程日记 2024/4/5 20:04:11

Listener

文章目录 ListenerServletContextListenerServletContextAttributeListenerHttpSessionListenerHttpSessionAttributeListenerServletRequestListenerServletRequestAttributeListenerHttpSessionBindingListenerHttpSessionActivationListener Listener Listener 监听器它是 J…...

编程日记 2024/4/5 20:01:08

单细胞RNA测序（scRNA-seq）SRA数据下载及fastq-dumq数据拆分

单细胞RNA测序&#xff08;scRNA-seq&#xff09;入门可查看以下文章&#xff1a; 单细胞RNA测序&#xff08;scRNA-seq&#xff09;工作流程入门 单细胞RNA测序&#xff08;scRNA-seq&#xff09;细胞分离与扩增 1. NCBI查询scRNA-seq SRA数据 NCBI地址&#xff1a; https…...

编程日记 2024/4/5 19:59:06

金蝶Apusic应用服务器 未授权目录遍历漏洞复现

0x01 产品简介 金蝶Apusic应用服务器（Apusic Application Server，AAS）是一款标准、安全、高效、集成并具丰富功能的企业级应用服务器软件，全面支持JakartaEE8/9的技术规范，提供满足该规范的Web容器、EJB容器以及WebService容器等，支持Websocket1.1、Servlet4.0、HTTP2.0…...

编程日记 2024/4/5 19:57:04

成都百洲文化传媒有限公司电商服务的新领军者

在当今数字化时代&#xff0c;电商行业正以前所未有的速度蓬勃发展。在这个大背景下&#xff0c;成都百洲文化传媒有限公司凭借其深厚的行业经验和精湛的专业技能&#xff0c;正迅速崛起为电商服务领域的新领军者。 一、专业引领&#xff0c;成就卓越 作为一家专注于电商服务的…...

编程日记 2024/4/5 19:51:59

从无到有开始创建动态顺序表——C语言实现

顺序表的概念 顺序表的底层结构是数组&#xff0c;对数组的封装&#xff0c;实现了常用的增删改查等接口。在物理结构和逻辑结构都是连续的&#xff0c;物理结构是指顺序表在计算机内存的存储方式&#xff0c;逻辑结构是我们思考的形式&#xff0c;顺序表和数组是类似的&#x…...

编程日记 2024/4/5 19:50:58

Unix 网络编程, Socket 以及bind（）, listen（）, accept（）, connect（）, read（）write（）五大函数简介

Unix网络编程是针对类Unix操作系统&#xff08;包括Linux、BSD以及其他遵循POSIX标准的操作系统&#xff09;进行网络通信开发的技术领域。网络编程涉及创建和管理网络连接、交换数据以及处理不同层次网络协议栈上的各种网络事件。在Unix环境中&#xff0c;网络编程通常涉及到以…...

编程日记 2024/4/5 19:49:57

【附下载】2024全行业数字化转型企业建设解决方案PPT合集

精品推荐&#xff0c;2024全行业数字化转型企业建设解决方案PPT合集&#xff0c;精品PPT源格式共21份。 以下是资料目录&#xff0c;如需下载&#xff0c;请前往星球获取&#xff1a; 1.制造业数字化转型解决方案及应用.pptx 2.医院数字化网络解决方案.pptx 3.食品饮料工厂数字…...

编程日记 2024/4/5 19:48:56

【QT+QGIS跨平台编译】056：【pdal_lepcc+Qt跨平台编译】（一套代码、一套框架，跨平台编译）

点击查看专栏目录 文章目录 一、pdal_lepcc介绍二、pdal下载三、文件分析四、pro文件五、编译实践一、pdal_lepcc介绍 pdal_lepcc 是 PDAL（Point Data Abstraction Library）的一个插件，用于点云数据的压缩。它基于 EPCC（Entwine Point Cloud Compression）算法，提供了对点…...

编程日记 2024/4/5 19:47:55

蓝桥集训之斐波那契数列

蓝桥集训之斐波那契数列 核心思想&#xff1a;矩阵乘法 将原本O(n)的递推算法优化为O(log2n) 构造1x2矩阵f和2x2矩阵a 发现f(n1) f(n) * a 则f(n1) f(1) * an可以用快速幂优化 #include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using na…...

编程日记 2024/4/5 19:43:51

程序员的工资是多少，和曹操有莫大的关系

曹操是谁大家都知道了吧&#xff0c;他是三国时期的一个有名的大老板&#xff0c;谁知道曹操的工资是多少呢&#xff1f;这个其实也不好说&#xff0c;有时候曹操赚很多的钱&#xff0c;有时候也亏血本&#xff0c;甚至连脑袋都差点掉了。创业不容易啊&#xff0c;曹老板也是如…...

编程日记 2024/4/5 19:42:50

使用Element Plus

1. 官网安装 安装 | Element Plus (gitee.io) 安装&#xff1a; npm install element-plus --save 在main.ts中全局注册ElementPlus并使用 //加入element-plus import ElementPlus from element-plus; //加入element-plus样式 import element-plus/dist/index.css; import…...

编程日记 2024/4/5 19:41:49

实践指南：如何使用Cisco DefenseClaw保护你的AI Agent安全

一、背景&#xff1a;AI Agent安全面临的新挑战 最近&#xff0c;开源AI代理框架OpenClaw遭遇了大规模供应链攻击&#xff0c;超过800个恶意技能被植入ClawHub技能市场。这个事件被命名为"ClawHavoc"&#xff0c;它暴露了AI Agent生态的安全漏洞。 作为开发者&#x…...

编程新知 2026/3/27 12:22:29

java rabbitmq实现消息协作

场景&#xff1a;数据下载采用rpa实现&#xff0c;数据服务采用java springboot实现&#xff0c;需要进行一键数据补录操作1、设置消息承载的通信队列&#xff0c;java 发送任务到rabbitmq和rpa端收到消息&#xff08;neimeng_data_download&#xff09;后&#xff0c;将下载结…...

编程新知 2026/3/27 8:20:30

Ubuntu 20.04 LTS下FinalShell安装全攻略（附一键脚本及常见问题解决）

Ubuntu 20.04 LTS下FinalShell终极配置指南&#xff1a;从安装到高阶应用 为什么开发者需要FinalShell&#xff1f; 作为一名长期使用Ubuntu进行远程服务器管理的开发者&#xff0c;我深知一款优秀的SSH工具对工作效率的影响。FinalShell作为跨平台的国产SSH工具&#xff0c;…...

编程新知 2026/3/27 6:21:03

OpenSSH用户枚举漏洞(CVE-2018-15473)修复实战：从检测到升级的完整指南

OpenSSH用户枚举漏洞(CVE-2018-15473)修复实战&#xff1a;从检测到升级的完整指南 在当今的网络安全环境中&#xff0c;SSH服务作为远程管理服务器的标准协议&#xff0c;其安全性直接关系到整个系统的防护水平。2018年曝光的OpenSSH用户枚举漏洞(CVE-2018-15473)虽然CVSS评分…...

编程新知 2026/3/27 5:57:00

第12课：从 SPI 环路、CAN 通信到 SD 与 eMMC 存储实战

本节路线图 先把三条主线分开：控制总 → SPI环路测试：先把时序 → CAN：换一条总线，世界 小猫提醒 这节有分区、烧录或删除类操作，先确认盘符和路径，再按回车。 如果说上一课的关键词是“事件、时间和系统能力”，那这一课的关键词就是“总线、协议和数据落地”。 我们要…...

编程新知 2026/3/27 4:54:16

AI显微镜-Swin2SR基础教程：理解‘细节重构技术’对AI生成图的价值

AI显微镜-Swin2SR基础教程&#xff1a;理解‘细节重构技术’对AI生成图的价值 1. 从模糊到高清&#xff1a;AI超分的革命性突破 你是否曾经遇到过这样的情况&#xff1a;AI生成了一张很有创意的图片&#xff0c;但分辨率太低&#xff0c;放大后全是马赛克&#xff1b;或者找到…...

编程新知 2026/3/27 4:52:11

【Linux信号】Linux进程信号（上）：信号产生方式和闹钟

&#x1f3ac; 个人主页&#xff1a;艾莉丝努力练剑❄专栏传送门&#xff1a;《C语言》《数据结构与算法》《C/C干货分享&学习过程记录》 《Linux操作系统编程详解》《笔试/面试常见算法&#xff1a;从基础到进阶》《Python干货分享》⭐️为天地立心&#xff0c;为生民立命…...

编程新知 2026/3/27 4:46:02

SAP Fiori Launchpad 中 Spaces 与 Pages 的传输机制：从对象关系到项目落地的完整实践

在很多 SAP Fiori 项目里，团队把精力放在了应用开发、业务角色设计、SAPUI5 组件装配，或者 Fiori Elements 的元数据驱动页面构建上，却常常低估了一个看似普通、实际上极易影响上线结果的环节：Spaces 与 Pages 的传输。 这个主题之所以重要，不是因为操作本身复杂，而是因…...

编程新知 2026/3/27 4:44:02

CI/CD 流水线性能优化：从构建到部署

CI/CD 流水线性能优化&#xff1a;从构建到部署 前言 哥们&#xff0c;别整那些花里胡哨的理论。今天直接上硬菜——我在大厂一线优化 CI/CD 流水线性能的真实经验总结。作为一个白天写前端、晚上打鼓的硬核工程师&#xff0c;我对效率的追求就像对鼓点节奏的把控一样严格。 背…...

编程新知 2026/3/27 2:18:42

UE4.62生成sln时失败：Missing .../DotNET/UnrealBuildTool/UnrealBuildTool/UnrealBuildTool.exe

问题1&#xff1a; vs编译报错&#xff0c;以为是热加载&#xff0c;把项目的几个文件删了&#xff0c;想右键点击Generate Visual Studio Project Files重构&#xff0c;报错。 解决方法&#xff1a;: 是看m0_62179790这个博主解决的。 只要把下面这行东西添加到你自己的UE…...

编程新知 2026/3/27 1:22:18