一元导数与多元求导数总结

前序：文章结构

1.一元导数

①一般函数求导

因为太简单的原因，事实上一般函数求导不会单独出现，大多数都是出现在各种特殊的求导过程中。只要掌握16个基本求导公式没问题。

②复合函数求导（主要链式法则）

这种一般是各种初等函数相互复合包含。

③隐函数求导

方法一：可以两边同时对x求导，然后表示为dy/dx=…的形式即可
方法二：可以利用多元函数中的公式如下。
方法三：一元微分形式不变性。

④反函数求导

即反函数的导数=原函数导数的倒数。

⑤参数方程求导

注意：二阶导的时候，要除以x对t求导。

⑥对数函数求导法

当含有根号，或者很”难受“的次幂时候，可以同时取对数简化求导过程。

⑦分段函数求导

⑧高阶导数

正常求…

2.多元函数求导

①一般函数偏导数

本质就是一元函数导数。

②复合函数偏导数

本质就是一元函数复合导数。

③隐函数偏导数

1.有一个方程F(x,y,z)=0确定的
方法1：两边同时对x求导。
方法2：用公式偏z/偏x=-F’x/F’z
方法3：全微分形式不变性。

2.有一个方程组F(x,y,z,u,v)=0,G(x,y,z,u,v)=0确定的
两个方程两边同时对x求导，将偏u/偏x，偏v/偏x看作变量。利用克莱姆法则解方程组。

④高阶偏导数及混合偏导

注意高阶偏导虽然简单，单数特别容易出错。如下题：

⑤全微分

分别求x,y偏导带入即可。

3.函数求导几点注意例题

①一元参数方程求二阶导一定是：一阶导对t求导/x对t求导（不要忽略分母，我们很容易惯性认为简单在对t求导就好了。）

②多元偏导注意：是多元函数才写下标，才是偏导：形如f(x/y),f(xy)等都是一元函数千万不要出现f’x,f’y,f’1,f’2等字眼

③多元隐函数求导注意点1：

方法一：形如u+e^u=xy如果隐函数两边同时对x求导，则u为x，y的函数即u=(x,y)。

方法二：形如u+e^u=xy如果用公式:偏U/偏x=-F’x/F’u。这个时候u=C,C为常数

④多元函数求导，如果未指明谁是谁的函数，如y是x的函数y=(x)，则xy对x求导为y，即(xy)‘=y，而非y+xy’

⑤多元隐函数求导注意点2：有时隐函数F(x,y,z)=0但是我们不知道谁对谁的偏导（很多时我们可以看出是Z对x或y的偏导）,这时可以根据题目F’z(x0,y0,z0)!=0判断