代码随想录算法训练营第四十一天| 343. 整数拆分，96.不同的二叉搜索树

题目与题解

343. 整数拆分

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代码随想录题解：343. 整数拆分

视频讲解：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分_哔哩哔哩_bilibili

解题思路：

        一眼懵，直接看答案了

看完代码随想录之后的想法 

        前一天的题是由dp[i-2]和dp[i-1]，递推出当前结果dp[i]。这题更复杂一些，是要根据dp[0]到dp[i-1]，推算dp[i]的结果。

        对于数字i，可以分解为两个数字的和：j和i-j，因此求分解i的乘积，就是求j和分解i-j之后二者的乘积。那么如果dp[i]定义为数字i的最大乘积和，那么对于dp[i]，遍历j from 1 to i - 1, 递推公式为求dp[i-j]*j和j * (i - j) 中的最大值。

        为避免重复计算，j最多取到i的一半。

class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp = new int[n+1];if (n >= 2) dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i/2; j++) {dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), dp[i-j]*j));}}return dp[n];}
}

j怎么就不拆分呢？

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

 还需要注意，初始化的方式是跟着定义走的，如果求的是max（dp[i - j] * dp[j]），为了计算正确，初始化的结果会跟dp[i]定义不符，容易出错。

遇到的困难

        第一次碰到这种题，想不到

96.不同的二叉搜索树 

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代码随想录题解：​​​​​​​96.不同的二叉搜索树 

视频讲解：动态规划找到子状态之间的关系很重要！| LeetCode：96.不同的二叉搜索树_哔哩哔哩_bilibili

解题思路：

        这题跟上面一题有一点类似，同样是要用多个dp[i-j]的值推出dp[i]。

        题目要求用1-n的数字构成不同的二叉搜索树，其实可以分解为，0-j-1的数字构成左子树，j为根节点，j到i构成右子树，那么

        初始化dp[0]=dp[1]=0即可。

class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i ; j++) {dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];}}return dp[n];}
}

看完代码随想录之后的想法 

        以dp[3]为例

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

关键是看如何去分解，分解后如何正确确定遍历的上下限。

遇到的困难

        一开始写的时候没有想清楚遍历的边界，初始化的时候也有点糊涂，所以错了好几处。要记住按定义初始化dp，然后确定遍历上下界后，最好通过几个举例得到结果，保证边界正确。        

今日收获

        学会了如何用分解的方法使用dp，难度提升了很多。