动态规划算法：路径问题

例题一

解法（动态规划）：

算法思路：

1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；

ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：

dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

2. 状态转移⽅程：

简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；

ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1][j]+dp[i][j-1]。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候

「从左往右」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回 dp[m][n] 的值。

例题二

解法（动态规划）：

算法思路：

本题为不同路径的变型，只不过有些地⽅有「障碍物」，只要在「状态转移」上稍加修改就可。

1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；

ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式： dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

2. 状态转移：

简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之 前的⼀⼩步，有两种情况：

i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到[i, j] 位置；

ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j] 位置 的，也就是说，此时的⽅法数应该是 0。 由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，添加⼀⾏，并且添加⼀列后，只需将 dp[1][0] 的位置初始化为 1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移」的推导，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往右」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。

例题三

解法（动态规划）：

算法思路：

1. 状态表⽰： 对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；

ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式： dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值。

2. 状态转移⽅程：

对于 dp[i][j] ，我们发现想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：

i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为

dp[i - 1][j] + grid[i][j] ；

ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为

dp[i][j - 1] + grid[i][j]

我们要的是最⼤值，因此状态转移⽅程为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] 。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有的值都为 0 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」，填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」，「每⼀⾏从左往右」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们应该返回 dp[m][n] 的值。

例题四

解法（动态规划）：

算法思路：

关于这⼀类题，由于我们做过类似的，因此「状态表⽰」以及「状态转移」是⽐较容易分析出来的。 ⽐较难的地⽅可能就是对于「边界条件」的处理。

1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，到达⽬标位置有多少种⽅式；

ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，⼀共有多少种⽅式

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

2. 状态转移⽅程：

对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：

i. 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；

ii. 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

iii. 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；

我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。

于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j] 。

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。 在本题中，需要「加上⼀⾏」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为⽆穷⼤，然后将第⼀⾏初始化为 0 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态表⽰」，填表的顺序是「从上往下」。

5. 返回值：

注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！

题⽬要求「只要到达最后⼀⾏」就⾏了，因此这⾥应该返回「 dp 表中最后⼀⾏的最⼩值」。

例题五

解法（动态规划）：

算法思路：

像这种表格形式的动态规划，是⾮常容易得到「状态表⽰」以及「状态转移⽅程」的，可以归结到

「不同路径」⼀类的题⾥⾯。

1. 状态表⽰：

对于这种路径类的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：

i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；

ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式： dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。

2. 状态转移：

简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

i. 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；

ii. 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3. 初始化：可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。 在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，每⼀⾏「从左往后」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。

例题六

解法（动态规划）：

算法思路：

1. 状态表⽰：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。

那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影

响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表⽰为：dp[i][j] 表⽰：从[i, j]位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

2.

状态转移⽅程：

对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择

（为了⽅便理解，设 dp[i][j] 的最终答案是 x ）：

i. ⾛到右边，然后⾛向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；

ii. ⾛到下边，然后⾛向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最⼩值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j]如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j]与 1 取⼀个最⼤值即可：

dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

3. 初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

4. 填表顺序：

根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

5. 返回值：

根据「状态表⽰」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。