HNU-算法设计与分析-作业5

第五次作业【回溯算法】

<1> 算法分析题5-3 回溯法重写0-1背包

▲问题重述

一共有N件物品，第i（i从0开始）件物品的重量为weight[i]，价值为value[i]。在总重量不超过背包承载上限maxw的情况下，求能够装入背包的最大价值是多少？并要求输出选取的物品编号。

（要求使用回溯法求解）

▲解题思路

使用回溯法。构造解空间树，从第0层到第n-1层，每层表示对于背包内某个物品的“取”或“不取”。第n层为答案层，在第n层进行判定结果是否是想要的（即能不能获得更优的解），若是就做出相应的处理。

这是一个万能的解空间树图，借来用用。

剪枝想法：

（1）如果在第n层之前，就出现了总和大于的maxw情况，那么此时已经超重了。之后无论是否取，都不可能再得到总和小于maxw的结果了。这种情况以及它的子树直接删去即可。

（2）如果在第n层之前，目前已有的价值，即使加上剩余可取的最大价值，也不能达到已经达到的bestv，那么之后即使全部取也不能达到bestv了。这种情况及它的子树直接删去即可。

剪枝代码可以删去，不影响结果，但会降低效率。

▲代码

// -*- coding:utf-8 -*-// File    :   01背包问题（回溯）.cpp
// Time    :   2023/12/14
// Author  :   wolf#include <iostream>
using namespace std;int w[5000];
int v[5000];
bool flag[5000];
bool ans[5000];
int now_w = 0, now_v = 0;
int n, maxw, bestv = 0;
int rest_v;void backtrace(int depth)
{if (depth == n) // 到达第n层：答案{if (now_v > bestv && now_w <= maxw) // 答案是需要打印的{bestv = now_v;for (int i = 0; i < n; i++){ans[i] = flag[i];}}return;}if (depth < n && now_w > maxw)return; // 剪枝：此时背包已经过重if (now_v + rest_v <= bestv)return; // 剪枝：此时剩余价值即使全部拾取也无法达到最大价值rest_v -= v[depth];// 取这个物品now_v += v[depth];now_w += w[depth];flag[depth] = 1;backtrace(depth + 1);now_v -= v[depth];now_w -= w[depth];flag[depth] = 0;// 不取这个物品backtrace(depth + 1);rest_v += v[depth];return;
}int main()
{cin >> maxw >> n;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> w[i] >> v[i];ans[i] = 0;flag[i] = 0;rest_v += v[i];}backtrace(0);for (int i = 0; i < n; i++){if (ans[i])cout << i << " ";}cout << endl;cout << bestv << endl;return 0;
}

▲验证

洛谷P1048（https://www.luogu.com.cn/problem/P1048）

【验证时把输出最优解向量的for循环删去，题目要求不一样】

回溯法解决背包问题的O(2^{n)还是从数量级上显著不如动态规划的O(n}2)。

故在数据量很大的时候，不能通过测评，显示超时。

所以01背包问题还是得用动态规划解，本题只是练习一下回溯法。

<2> 算法分析题5-5 旅行商问题（剪枝）

▲题目重述

▲解答

▲代码

// -*- coding:utf-8 -*-// File    :   5-5 旅行售货员问题.cpp
// Time    :   2023/12/30
// Author  :   wolf#include <iostream>using namespace std;
int const MAXINT = 99999;
int map[1000][1000];
int v, e, best_cost = MAXINT, now_cost = 0;
int now_order[1000]; // 储存当前排列解向量
int ans[1000];       // 储存结果排列解向量
int upbound;void swap(int a, int b)
{int temp = now_order[a];now_order[a] = now_order[b];now_order[b] = temp;
};void backtrack(int depth)
{if (depth == v - 1) // 到达答案层{if (map[now_order[depth]][now_order[0]] != -1) // 能跟第一个相连{now_cost += map[now_order[depth]][now_order[0]];if (now_cost < best_cost) // 更优，保存结果{best_cost = now_cost;for (int i = 0; i < v; i++){ans[i] = now_order[i];}}now_cost -= map[now_order[depth]][now_order[0]];}}else{for (int i = depth; i < v; i++) // 生成排列树当前向量中depth位置的节点编号（第depth个访问哪个节点）{if (map[now_order[depth - 1]][now_order[i]] != -1) // 前一节点到当前的这个节点有可达边{if (now_cost + map[now_order[depth - 1]][now_order[i]] <= upbound)// 剪枝：若当前步骤使得费用和就大于上界了，不必继续{swap(i, depth);now_cost += map[now_order[depth - 1]][now_order[depth]];backtrack(depth + 1);now_cost -= map[now_order[depth - 1]][now_order[depth]];swap(i, depth);}}}}return;
}
int main()
{cin >> v >> e;for (int i = 0; i < v; i++)for (int j = 0; j < v; j++)map[i][j] = -1;for (int i = 0; i < e; i++){int a, b, weight;cin >> a >> b >> weight;map[a][b] = weight;map[b][a] = weight;}// 剪枝预备：for (int i = 0; i < v; i++){int i_out_max = 0; // 存储从i节点向外for (int j = 0; j < v; j++){i_out_max = max(i_out_max, map[i][j]);}upbound += i_out_max;}// 指定从0号节点开始遍历// 反正最后每一个节点都需要遍历过for (int i = 0; i < v; i++)now_order[i] = i; // 初始按照递增顺序（初始顺序是无所谓的，只要保证都能遍历一遍就可以）backtrack(1);         // 0号节点已固定，搜索从1号节点开始的全排列cout << best_cost << endl;return 0;
}

▲验证

input
4 5
0 1 10
0 2 15
1 2 35
1 3 25
2 3 30output
50

<3> 算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题

▲问题重述

▲解题思路

排列树解决问题。创建以下函数/类

1. Board 类:
   • class Board 定义了一个名为 Board 的类，用于处理电路板排列问题。
   • 私有成员变量包括 n（电路板数）、m（连接块数）、x（当前解的数组）、bestx（当前最优解的数组）、bestd（当前最优密度）、low（辅助数组，存储连接块的最小高度）、high（辅助数组，存储连接块的最大高度）、B（连接块数组）。
2. len 函数:
   • int len(int ii) 用于计算排列中的某一部分的长度，即连接块之间的最大高度差。
   • 该函数首先将 low 和 high 数组初始化为合适的值，然后根据当前排列计算连接块的最小和最大高度，最后计算最大高度差并返回。
3. Backtrack 函数:
   • void Backtrack(int i) 是一个递归函数，用于在排列树上进行回溯搜索，寻找最优解。
   • 当达到排列树的终点（i == n）时，计算当前排列的长度，并更新最优解。
   • 否则，对于当前位置 i，尝试选择不同的电路板进行交换，然后继续递归搜索。
4. ArrangeBoards 函数:
   • int ArrangeBoards(int **B, int n, int m, int *bestx) 是主要的调用函数。
   • 在该函数中，创建一个 Board 类的实例 X，并通过初始化设置其成员变量。
   • 利用回溯算法调用 Backtrack(1) 来找到最优解。
   • 返回最优解的密度。
5. main 函数:
   • main 函数读取输入，调用 ArrangeBoards 函数来解决问题，并输出结果。
   • 动态分配二维数组 B 以存储连接块信息。
   • 读取输入的电路板连接信息。
   • 创建数组 bestx 用于存储最优解。
   • 输出最优解的密度和排列。

▲代码

// 电路板排列问题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class Board
{friend int ArrangeBoards(int **, int, int, int *);private:void Backtrack(int i);int len(int ii);int n,      // 电路板数m,      // 连接块数*x,     // 当前解*bestx, // 当前最优解bestd,  // 当前最优密度*low,   //*high,  //**B;    // 连接块数组
};
int Board::len(int ii)
{for (int i = 0; i <= m; i++){high[i] = 0;low[i] = n + 1;}for (int i = 1; i <= ii; i++){for (int k = 1; k <= m; k++){if (B[x[i]][k]){if (i < low[k])low[k] = i;if (i > high[k])high[k] = i;}}}int tmp = 0;for (int k = 1; k <= m; k++){if (low[k] <= n && high[k] > 0 && tmp < high[k] - low[k])tmp = high[k] - low[k];}return tmp;
}
void Board::Backtrack(int i) // 回溯搜索排列树
{if (i == n) // 到达排列树终点{int tmp = len(i);if (tmp < bestd){bestd = tmp;for (int j = 1; j <= n; j++)bestx[j] = x[j];}}else{for (int j = i; j <= n; j++) // 选择x[j]为下一块电路板{swap(x[i], x[j]);int ld = len(i);if (ld < bestd)Backtrack(i + 1);swap(x[i], x[j]);}}
}
int ArrangeBoards(int **B, int n, int m, int *bestx)
{Board X;// 初始化XX.x = new int[n + 1];X.low = new int[m + 1];X.high = new int[m + 1];X.B = B;X.n = n;X.m = m;X.bestx = bestx;X.bestd = n + 1;// 初始化total和nowfor (int i = 1; i <= n; i++){X.x[i] = i;}X.Backtrack(1);delete[] X.x;delete[] X.low;delete[] X.high;return X.bestd;
}
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;int **B = new int *[n + 1];for (int i = 0; i <= n; i++)B[i] = new int[m + 1];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)cin >> B[i][j];int *bestx = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++)bestx[i] = 0;int ans = ArrangeBoards(B, n, m, bestx);cout << ans << endl;for (int i = 1; i <= n; i++)cout << bestx[i] << " ";cout << endl;return 0;
}

▲验证

测试案例

8 5
1 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 1

测试结果：

<4> 算法实现题5-7 n色方柱问题

▲问题重述

设有 n 个立方体，每个立方体的每一面用红、黄、蓝、绿等 n 种颜色之一染色。要把这n 个立方体叠成一个方形柱体，使得柱体的 4 个侧面的每一侧均有 n 种不同的颜色。试设计一个回溯算法，计算出 n 个立方体的一种满足要求的叠置方案。

对于给定的 n 个立方体以及每个立方体各面的颜色，计算出 n 个立方体的一种叠置方案，使得柱体的 4 个侧面的每一侧均有 n 种不同的颜色。

数据输入：

第一行有 1 个正整数 n，0< n< 27，表示给定的立方体个 数和颜色数均为 n。第 2 行是 n 个大写英文字母组成的字符串。该字符串的第 k(0≤ k< n) 个字符代表第 k 种颜色。接下来的 n 行中，每行有 6 个数，表示立方体各面的颜色。立方体各面的编号如下图所示。

图中 F 表示前面，B 表示背面，L 表示左面，R 表示右面，T 表示顶面，D 表示底面。相 应地，2 表示前面，3 表示背面，0 表示左面，1 表示右面，5 表示顶面，4 表示底面。
例如，在示例输出文件中，第3行的6个数0 2 1 3 0 0分别表示第1个立方体的左面的颜色为R, 右面的颜色为B, 前面的颜色为G, 背面的颜色为Y, 底面的颜色为R, 顶面的颜色为 R。

案例：

input
4
RGBY
0 2 1 3 0 0 
3 0 2 1 0 1
2 1 0 2 1 3
1 3 3 0 2 2 output
RBGYRR
YRBGRG
BGRBGY
GYYRBB

▲解题思路

在下面的代码中使用注释讲解。使用回溯法的思路套用回溯法的模板，但有改动。

本题比较晦涩难懂，在理解上需要花很多时间。

关于代码部分的映射方式

▲代码

// -*- coding:utf-8 -*-// File    :   5-7 n色方柱问题.cpp
// Time    :   2023/12/27
// Author  :   wolf#include <iostream>using namespace std;
char color[28]; // 用来储存输入的数字对应的颜色（只在输出的时候转换为字符，在做题时使用数字存储）
int box[28][6]; // box[i][j]用来储存第i个立方体各个面（即第j面）的颜色
int n;
int count = 1; //  标记这是第几个输出的；可能结果
const int place[24][6] = {// 转动立方体的映射函数，使用box[depth+1][j]=origin[place[method][j]]来获取第method种方法下下一层的摆放方式// place[i][j]为第i种转换方法下该立方体该层的第j面应该变换为place[i][j]{0, 1, 2, 3, 4, 5},{4, 5, 2, 3, 1, 0},{1, 0, 2, 3, 5, 4},{5, 4, 2, 3, 0, 1}, // 2为底面，3为顶面{0, 1, 3, 2, 4, 5},{4, 5, 3, 2, 1, 0},{1, 0, 3, 2, 5, 4},{5, 4, 3, 2, 0, 1}, // 3为底面，2为顶面{3, 2, 0, 1, 4, 5},{4, 5, 0, 1, 2, 3},{2, 3, 0, 1, 5, 4},{5, 4, 0, 1, 3, 2}, //  0为底面，1为顶面{3, 2, 1, 0, 4, 5},{4, 5, 1, 0, 2, 3},{2, 3, 1, 0, 5, 4},{5, 4, 1, 0, 3, 2}, //  1为底面，0为顶面{1, 0, 4, 5, 3, 2},{3, 2, 4, 5, 0, 1},{0, 1, 4, 5, 2, 3},{2, 3, 4, 5, 1, 0}, //  4为底面，5为顶面{1, 0, 5, 4, 3, 2},{3, 2, 5, 4, 0, 1},{0, 1, 5, 4, 2, 3},{2, 3, 5, 4, 1, 0}, //  5为底面，4为顶面
};void backtrack(int depth)
{// cout << "depth=" << depth << endl;if (depth == n - 1) // 到达答案层{cout << "Possible Solution " << count << " : " << endl;count++;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < 6; j++){cout << color[box[i][j]] << " ";}cout << endl;}cout << endl;}else{int process = depth + 1;int origin[6];// 【使用origin[]数组先保存原始情况，可以省去整体恢复原状的步骤，24次for循环每次都是新的开始】for (int i = 0; i < 6; i++)      // 保存待处理层初始存放的颜色origin[i] = box[process][i]; // origin[i]表示该层初始第i个面存放的颜色// cout << "origin=" << endl;// for (int i = 0; i < 6; i++)//     cout << origin[i] << " ";// cout << endl;for (int i = 0; i < 24; i++) // 列举子集树，每个立方体有24种放法,第i种方法{// cout << "method = " << i << endl;for (int j = 0; j < 6; j++) // 按照该种方案的映射，把处理的该层立方体先摆好{box[process][j] = origin[place[i][j]];}// 接下来看这种摆法是否可行int flag = 1; // 初始标记，表示可行// 表示遍历某个侧面时，是否出现重复颜色，used_i[j]标记第i个侧面第j号颜色是否被用过，初始清零int used_0[n];int used_1[n];int used_2[n];int used_3[n];for (int i = 0; i < n; i++) //{used_0[i] = 0;used_1[i] = 0;used_2[i] = 0;used_3[i] = 0;}for (int i = 0; i <= process; i++) // 遍历到现在所有已经放好的立方体，查看每个侧面是否有重复的颜色{used_0[box[i][0]]++;used_1[box[i][1]]++;used_2[box[i][2]]++;used_3[box[i][3]]++;if (used_0[box[i][0]] > 1 || used_1[box[i][1]] > 1 || used_2[box[i][2]] > 1 || used_3[box[i][3]] > 1)// 题目要求是最后摆好的整个立方体条的每个侧面都要有n种颜色// 但因为n个立方体摆出的，该侧面条有n种颜色，所以相当于每个立方体在该侧面的颜色都不一样// 即某个侧面条上每种颜色只能使用一次，这里转换了题目的条件// 某个侧面条上某个颜色用了不止一次，不符合条件，该方案以及该方案的子树剪掉{flag = 0;// cout << used_0[box[i][0]] << " " << used_1[box[i][1]] << " " << used_2[box[i][2]] << " " << used_3[box[i][3]] << endl;break;}}if (flag == 1) // 目前所有已经摆好的立方体的每个侧面都没有重复的颜色，符合要求，可以继续放下一个立方体backtrack(depth + 1);}}return;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> color[i];}for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < 6; j++){cin >> box[i][j];}}cout << endl<< "ans = " << endl;backtrack(-1);return 0;
}

▲验证

未找到在线测评，使用题目给出的案例

input
4
RGBY
0 2 1 3 0 0 
3 0 2 1 0 1
2 1 0 2 1 3
1 3 3 0 2 2 

输出结果如下：

ans = 
Possible Solution 1 : 
R B G Y R R 
Y R B G R G 
B G R B G Y 
G Y Y R B BPossible Solution 2 :
B R G Y R R
R Y B G G R
G B R B Y G
Y G Y R B BPossible Solution 3 :
R B Y G R R
Y R G B R G
B G B R G Y
G Y R Y B BPossible Solution 4 :
B R Y G R R
R Y G B G R
G B B R Y G
Y G R Y B BPossible Solution 5 :
Y G R B R R
G B Y R R G
B R B G G Y
R Y G Y B BPossible Solution 6 :
G Y R B R R
B G Y R G R
R B B G Y G
Y R G Y B BPossible Solution 7 :
Y G B R R R
G B R Y R G
B R G B G Y
R Y Y G B B Possible Solution 8 :
G Y B R R R
B G R Y G R
R B G B Y G
Y R Y G B B

可见答案不唯一（显然可能），题目给定的答案在其中之一。

我们这种算法的时间复杂度O(n*24^n)，数据量大了之后可能会很慢。

<5> 算法实现题5-13 任务分配问题

▲问题重述

问题描述: 设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为 cij。试设计一个算法，为每一个人都分配1 件不同的工作，并使总费用达到最小。

算法设计：设计一个算法，对于给定的工作费用，计算最佳工作分配方案，使总费用达到最小。

数据输入：第一行有1 个正整数n (1≤n≤20)。接下来的n行，每行n个数，表示工作费用。

样例：

input
3
10 2 3
2 3 4
3 4 5output
9

▲解题思路

假设人不动，将工作分发给不同人。

解向量x[i]为第i个人被分配第x[i]个工作，解空间树为排列树。从第0层开始，第0层就有n个节点（可以认为第-1层有一个节点），答案层在第n层（第n-1层将自己与自己交换，实际上不影响最终结果）。在第n层比较当前总费用是不是比目前保存的方案总费用更少，如果是就将这个更小的存下来，否则不做处理。

遍历完整个排列树后得到最优解。

▲代码

// -*- coding:utf-8 -*-// File    :   5-13.cpp
// Time    :   2023/12/25
// Author  :   wolf#include <iostream>using namespace std;
const int MAXNUM = 9999999;
int c[21][21];
int x[21];
int nowcost = 0, mincost = MAXNUM, n;void swap(int a, int b)
{int temp = x[a];x[a] = x[b];x[b] = temp;
}void backtrack(int depth)
{if (depth == n) // 答案层{mincost = min(mincost, nowcost);// cout << nowcost << endl;// 不需要输出解向量，故不用保存解向量}else{for (int i = depth; i < n; i++){// depth当前人，i为待分发物品序号，人不动，发物品nowcost += c[x[i]][depth];swap(i, depth);backtrack(depth + 1);swap(i, depth);nowcost -= c[x[i]][depth];}}
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){cin >> c[i][j];}}for (int i = 0; i < n; i++)x[i] = i;backtrack(0);cout << mincost << endl;return 0;
}

▲验证

测试数据可通过。