定积分求解过程是否变限问题 以及当换元时注意事项

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定积分求解过程是否变限问题 

文字理解：

 实例理解：

易错点和易混点：

1：定积分中的换元指什么？

2： 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

3： df(x)   ---->   df(x)这个过程对大家产生困扰

换元时注意事项：

1：换元必换限，同时要将 dx = f（t）dt 也更换

2：换元要判断新元要保证连续可导：

3：积分区间上单调的替换函数是必要的

4：偶次方根下开平方，要加绝对值

5：牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分，当定积分区间内有瑕点（该点的函数值为无穷）

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定积分求解过程是否变限问题 

文字理解：

       定积分换元有一个口诀：换字必换限（所以不换字就不换限）。

       理解：通过判断是否 引入一个新的变量替换原来的变量 来确定是否更换 积分限

        白话理解：你在积分中，如果一直用字母t，那么那个积分限当然还是t等于多少的积分限。但是一旦你在积分中，不要原来的字母t了，换成一个新的字母x，那么积分限当然要换成x等于多少了？。这就叫做，这就叫做换字必换限。不换字就不换限。明白了没有？

 实例理解：

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来源：​​​​​​(1 封私信) 闲敲棋子落灯hua - 知乎 (zhihu.com)

        (1 封私信) 龚漫奇 - 知乎 (zhihu.com)

易错点和易混点：

1：定积分中的换元指什么？

        定积分中说的"换元"指的是引入新变量替换原变量

2： 不定积分中第一类换元法和第二类换元法的本质和区别

第一类换元法（凑微分）：

第二类换元法：

通过这两个概念的引入，我们能清晰的认识到，第二类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 是一 一对应的，故第二类换元法需要更换积分上下限。而第一类换元法的概念 与 定积分的换元的概念 并不是相同概念，故凑微分并不用更换积分上下限。

3： df(x)   ---->   df(x) 这个过程使大家产生困扰

定积分公式    

        当凑微分时会产生这样的过程  df(x)   ---->   df(x)  容易误导大家，让大家误以为是更换了积分变量，其实如果单单只是df(x)   ---->   dg(x) ，而u(x)对应的函数并未更换变量，此时并不表示更换积分变量。注 dx 也是 df(x)中的一种情况 当f(x) =x 时。

        若：定积分公式   中 u(x)df(x) 经过一系类变化转换为  v(x)dg(x) 这个过程仍然并没有引入新的变量，变量仍是"x"，不用更改积分限。刚好凑微分符合该条件，故凑微分不用修改积分上下限。

        若：定积分公式    中u(x)df(x)经过一系列变换转换为v(t)dg(t)此时要根据变换过程及时更换积分上下限。第二类换元需要修改上下限。

注：一定要分清 凑微分法 和 第二类换元法 和 定积分的换元 在概念上的区别。

换元时注意事项：

1：换元必换限，同时要将 dx = f（t）dt 也更换

2：换元要判断新元要保证连续可导：

        例如原积分区间(-1,1),换元函数是 x = 1/t ，很明显当x = 0时 t是无穷，所有新元函数在0处为无穷间断点，不连续也不可导，故此时不能换元。

3：积分区间上单调的替换函数是必要的

        进行定积分的变量替换时，选择在积分区间上单调的替换函数是非常重要的。这可以确保替换过程中的一一对应性，避免积分上下限混淆，并简化积分计算过程。在实际操作中，务必检查替换函数的单调性和可逆性，以确保积分计算的正确性

4：偶次方根下开平方，要加绝对值

        换元后，很多情况下都是会出现平方项，特别是三角换元，当遇见偶次根号下开方一定要小心

5：牛顿莱布尼茨公式只适用于定积分，当定积分区间内有瑕点（该点的函数值为无穷）

        这个很少见，一般让你求定积分都是已经帮你筛选过瑕点区间不用很担心。除非题目问你：该积分是否能用牛顿莱布尼茨求。