从0开始学统计-t分布

1.t分布是如何被发现的？

t分布最早由英国统计学家威廉·塞弗顿（William Sealy Gosset）在1908年提出。塞弗顿是爱尔兰的一名酿酒厂的统计学家，他的工作需要对小样本数据进行分析。由于当时样本量较小（通常小于30），传统的正态分布方法不适用于估计样本均值的抽样分布。

塞弗顿在研究中发现，当样本量较小时，样本均值的抽样分布不再服从正态分布，而是更广的、更平坦的分布。他进行了大量的模拟实验，并提出了一种新的分布，即t分布，以解决小样本量下的统计问题。

塞弗顿的研究成果最终在1908年发表在《生物学期刊》上，但由于他在酿酒厂工作，为了保密，他使用了笔名“学生”（Student）。因此，t分布也被称为学生t分布。

塞弗顿的工作对统计学产生了重大影响，尤其是在小样本数据的分析和参数估计方面。至今，t分布仍然被广泛应用于统计学和数据分析领域。

样本量大的时候，样本平均数的分布可以转化为标准正态分布：

但是当样本量较小的时候，这个比值的分布不再是标准正态分布。也就是说当样本量较小的时候，不能将正态分布转化为标准正态分布。因为小样本的标准差与总体的标准差存在差别，不能直接用小样本的标准差代替总体的标准差。

塞弗顿将小样本时的比值称为t值，服从新的正态分布，即t分布。t分布的均值还是0，但是标准差不再是1了。

2.什么是t分布的自由度？

在t分布中，自由度（degrees of freedom，简称df）是一个参数，用来确定t分布的形状。具体来说，自由度决定了t分布的尾部的厚度和宽度。

在t分布的概率密度函数中，自由度是一个正整数，通常表示为 ν。自由度越大，t分布的形状就越接近于标准正态分布（图中绿色线为标准正态分布），尾部就越窄；自由度越小，t分布的尾部就越厚，形状更加扁平。

在统计学中，自由度通常与样本量有关，但并不等于样本量。在不同的统计问题中，自由度的计算方式略有不同，但它们都与样本量和统计模型的复杂度有关。

3.t分布的界值是多少？

不同的自由度下，t分布有不同的界值，可以通过查表或者软件得到具体的界值。

比如双侧0.05，n=8时的界值在t分布和z分布时分别是：

我们上次做的估算总体降压效果的置信区间如果用t分布算，会得到一个更加准确的置信区间。

这里样本平均值是18mmHg，标准误是1.907。

因此，总体均值95%置信区间在13.496和22.504之间。