线性模型--普通最小二乘法

一、模型介绍

线性模型是在实践中广泛使用的一类模型，该模型利用输入特征的线性函数进行预测。

二、用于回归的线性模型

以下代码可以在一维wave数据集上学习参数w和b，w是斜率，b是截距。

import mglearn 
mglearn.plots.plot_linear_regression_wave()

我们在图中添加了坐标网格，便于理解直线的含义。w的值是0.39，b的值是-0.03。
用于回归的线性模型可以表示为这样的回归模型：对单一特征的预测结果是一条直线，两个特征时是一个平面，或者在更高维度（即更多特征）时是一个超平面。
对于有多个特征的数据集而言，线性模型可以非常强大。特别地，如果特征数量大于训练数据点的数量，任何目标y都可以（在训练集上）用线性函数完美拟合。
有许多不同的线性回归模型。这些模型之间的区别在于如何从训练数据中学习参数w和b，以及如何控制模型复杂度。下面介绍最常见的线性回归模型。

2.1 线性回归（普通最小二乘法）

线性回归，或者普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS），是回归问题最简单也最经典的线性方法。线性回归寻找参数w和b，使得对训练集的预测值与真实的回归目标值y之间的均方误差最小。均方误差是预测值与真实值之差的平方和除以样本数。线性回归没有参数，这是一个优点，但也因此无法控制模型的复杂度。
以下代码可以生成一个简单的线性回归模型：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
X, y = mglearn.datasets.make_wave(n_samples=60)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42)model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

“斜率”参数（w，也叫做权重或系数）被保存在coef_属性中，英文单词coef就是属性的意思，而截距（b）或偏移被保存在intercept_属性中，英文单词intercept的意思是拦截、阻截的意思。

intercept_属性是一个浮点数，而coef_属性是一个NumPy数组，每个元素对应一个输入特征。由于wave数据集中只有一个输入特征，所以model.coef_中只有一个元素。
再来看一下训练集和测试集的性能：

R²约为0.66，这个结果不是很好，但我们可以看到，训练集和测试集上的分数非常接近。这说明可能存在欠拟合，而不是过拟合。对于这个一维数据集来说，过拟合的风险很小，因为模型非常简单（或受限）。然而，对于更高维的数据集（即有大量特征的数据集），线性模型将变得更加强大，过拟合的可能性也会变大。我们来看一下LinearRegression在更复杂的数据集上的表现，比如波士顿房价数据集，这个数据集有506个样本和105个导出特征，代码如下：

X, y = mglearn.datasets.load_extended_boston()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=42)
model = LinearRegression().fit(X_train, y_train)

线性回归模型在训练集上的预测非常准确，但测试集上的R²明显低一些。训练集和测试集之间的性能差异是过拟合的明显标志，因此我们应该试图找到一个可以控制复杂度的模型。标准线性回归最常用的替代方法之一就是岭回归，下篇博客中将详细介绍岭回归。