R实验 随机变量及其分布

• 实验目的：

1. 掌握常见几种离散性随机变量及其分布在R语言中对应的函数用法；
2. 掌握常见几种连续性随机变量及其分布在R语言中对应的函数用法；
3. 掌握统计量的定义及统计三大抽样分布在R语言中对应的函数用法。

实验内容：

（习题4.5）通过对学生成绩的统计，高等数学课程的不及格率为20%。现随机地抽查了学习该课程的20名学生，试计算：（提示：这是一个二项分布，参考例4.7）

（1）有2名或2名以下学生不及格的概率是多少？（提示：累积分布函数pbinom()，答案：0.2061）

p1<-pbinom(2,size = 20,prob = 0.2)p1

（2）有4名学生不及格的概率是多少？（提示：概率密度函数dbinom()，答案：0.2182）

p2<-dbinom(4,size = 20,prob = 0.2)p2

（3）超过3名学生不及格的概率是多少？（提示：累积分布函数pbinom()，答案：0.5886）

p3<-pbinom(3,size = 20,prob = 0.2)p4<-1 - p3p4

（习题4.14）设某城市男子的身高服从均值为168cm，标准差为6cm的正态分布。求：

（1）该市男子身高在170cm以上的概率；（提示：累积分布函数pnorm()，答案：0.3694）

p<-pnorm(170,mean = 168,6)p1<-1-pp1

（2）为了使99%以上的男子上公共汽车不至于在车门上沿碰头，当地的公共汽车门框应设计多高？（提示：即求身高为哪个值以下的概率超过0.99，亦即：求k的值，使得P{X≤k}≥.0.99。显然题目是求分位数k，需要用到分位数函数qnorm()。注意到在R语言中，分位数函数默认是下分位数，大家可以看一下，R语言中下分位数函数中有一个参数lower.tail=TRUE，这个参数就是表示下分位数，默认值为TRUE。可参考例4.14。答案：181.9581）

p<-pnorm(170,mean = 168,6)p1<-1-pp1

按照参考代码，在一个图中绘制如下图所示的三个正态分布的概率密度函数曲线。要求（第4-7题要求与此类似，不再重复说明）：

（1）生成图形后，点击RStudio右下角区域中的“Plot”标签下的“Export”按钮，在弹出的菜单中选择“Save as Image…”，保存为PNG格式。然后将此PNG图片插入到此文档中，替换掉原来的样例图。

（2）删除参考代码截图，并粘贴代码文字到此文档中（不是截图）。

（3）对其中的一些参数，可以修改其值或者注释掉该参数，看看生成的图形有什么变化，从而加深理解这些参数的意义。

参考代码：

x <- seq(-4,4,length.out =1000)y1 <- dnorm(x)y2 <- dnorm(x,mean = 2,sd = 0.5)y3 <-dnorm(x,mean = 0,sd = 0.5)plot(x,y1,type = "l",lty =4,col ="green3",lwd = 2,xlim = c(-3,4),ylim = c(0,0.8),xlab = "x",ylab = "density",xaxt = "n",yaxt = "n",)lines(x,y2,lty = 5,col = "red")lines(x,y3,lty = 1,lwd = 2,col = "blue")axis(side = 1,at = seq(-3,4,by = 1))axis(side = 2,at = seq(0,0.8,by = 0.2))abline(v = 0)abline(v = 2)abline(h = max(y1),lty = 3)legend("topleft",inset = 0.02,title = "normal distribution",c("μ=0,σ=0.5","μ=2,σ=0.5","μ=0,σ=1"),cex = 0.8,lty = c(1,5,4),lwd = 2,col = c("blue","red","green3"))

在一个图中，绘制第3题中三个正态分布函数的累积分布函数曲线。（注意为了让曲线完整显示，纵轴的范围需要调整为0到1之间，同时将纵坐标的标签改为CDF，即累积分布函数(Cumulative Distribution Function)）

替换以上样例图，并粘贴代码文字于下（非截图）

代码：

x <- seq(-4,4,length.out =1000)y1 <- pnorm(x)y2 <- pnorm(x,mean = 2,sd = 0.5)y3 <-pnorm(x,mean = 0,sd = 0.5)plot(x,y1,type = "l",lty =4,col ="green",lwd = 2,xlim = c(-4,4),ylim = c(0,1),xlab = "x",ylab = "density",xaxt = "n",yaxt = "n",)lines(x,y2,lty = 5,col = "red")lines(x,y3,lty = 1,lwd = 2,col = "blue")axis(side = 1,at = seq(-4,4,by = 2))axis(side = 2,at = seq(0,1,by = 0.2))abline(v = 0)abline(v = 2)#abline(h = max(y1),lty = 3)legend("topleft",inset = 0.02,title = "累积密度函数曲线",c("μ=0,σ=0.5","μ=2,σ=0.5","μ=0,σ=1"),cex = 0.8,lty = c(1,5,4),lwd = 2,col = c("blue","red","green3"))

模仿第3题，绘制下图所示的三个c2分布的概率密度函数曲线。（注意坐标轴刻度、图例等的变化）

替换以上样例图，并粘贴代码文字于下（非截图）

代码：

x <- seq(0,15, length.out = 1000)y1 <- dchisq(x, df = 1)y2 <- dchisq(x, df = 4)y3 <- dchisq(x, df = 10)plot(x,y1,type = "l",lty = 4,col = "green3",lwd = 2,xlim = c(0, 15),ylim = c(0.00, 0.30),xlab = "x",ylab = "density",xaxt = "n",yaxt = "n")lines(x,y2,lty = 5,col = "red")lines(x,y3,lty = 1,lwd = 2,col = "blue")axis(side = 1, at = seq(0, 15, by = 5))axis(side = 2, at = seq(0, 0.30, by = 0.05))#abline(v = 0)#abline(v = 2)#abline(h = max(y1), lty = 3)legend("topright",inset = 0.02,title = "chi-square distribution",c("n = 10", "n = 4", "n = 1"),cex = 0.8,lty = c(1, 5, 4),lwd = 2,col = c("blue", "red", "green3"))

模仿第3题，绘制下图所示的三个t分布的概率密度函数曲线。（注意坐标轴刻度、图例等的变化）

替换以上样例图，并粘贴代码文字于下（非截图）

代码：

x <- seq(0,15, length.out = 1000)y1 <- dchisq(x, df = 1)y2 <- dchisq(x, df = 4)y3 <- dchisq(x, df = 10)plot(x,y1,type = "l",lty = 4,col = "green3",lwd = 2,xlim = c(0, 15),ylim = c(0.00, 0.30),xlab = "x",ylab = "density",xaxt = "n",yaxt = "n")lines(x,y2,lty = 5,col = "red")lines(x,y3,lty = 1,lwd = 2,col = "blue")axis(side = 1, at = seq(0, 15, by = 5))axis(side = 2, at = seq(0, 0.30, by = 0.05))#abline(v = 0)#abline(v = 2)#abline(h = max(y1), lty = 3)legend("topright",inset = 0.02,title = "chi-square distribution",c("n = 10", "n = 4", "n = 1"),cex = 0.8,lty = c(1, 5, 4),lwd = 2,col = c("blue", "red", "green3"))

模仿第3题，绘制下图所示的三个F分布的概率密度函数曲线。（注意坐标轴刻度、图例等的变化。图例中字符的下标不做要求）

替换以上样例图，并粘贴代码文字于下（非截图）

代码：

x <- seq(0,4, length.out = 1000)y1 <- df(x,3,15)y2 <- df(x,7,15)y3 <- df(x,15,15)plot(x,y1,type = "l",lty = 4,col = "green3",lwd = 2,xlim = c(0, 4),ylim = c(0.00, 1.0),xlab = "x",ylab = "density",xaxt = "n",yaxt = "n")lines(x,y2,lty = 5,col = "red")lines(x,y3,lty = 1,lwd = 2,col = "blue")axis(side = 1, at = seq(0, 4, by = 1))axis(side = 2, at = seq(0, 0.8, by = 0.2))#abline(v = 0)#abline(h = max(y1), lty = 3)legend("topright",inset = 0.02,title = "F distribution",c("n1=3,n2=15", "n1=7,n2=15","n1=15,n2=15"),cex = 0.8,lty = c(1, 5, 4),lwd = 2,col = c("green3", "red", "blue"))

思考：

常见离散型随机变量的分布有哪些？

伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布

常见连续型随机变量的分布有哪些？

正态分布、指数分布、均匀分布、伽马分布、卡方分布、t分布、F分布

二项分布适用于__有__放回的抽样，超几何分布适用于__无__放回的抽样。（填“有”或“无”）

描述某一特定时间段内或空间段内事件发生次数的随机变量，通常服从什么分布？

泊松分布

描述两个事件间隔时间长度的随机变量，通常服从什么分布？

指数分布

统计量是样本的函数，且不包含总体的未知参数，它是随机变量吗？

统计量是随机变量

常用的抽样方法有两大类：概率型抽样方法和非概率抽样方法。它们各自又含有哪些具体的方法？

概率型抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、多阶段抽样等；

非概率抽样方法包括方便抽样、判断抽样、整齐抽样、比例抽样等。