AcWing 2568：树链剖分 ← 线段树+DFS

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/2570/

【题目描述】
给定一棵树，树中包含 n 个节点（编号 1∼n），其中第 i 个节点的权值为 ai。
初始时，1 号节点为树的根节点。
现在要对该树进行 m 次操作，操作分为以下 4 种类型：
● 1 u v k，修改路径上节点权值，将节点 u 和节点 v 之间路径上的所有节点（包括这两个节点）的权值增加 k。
● 2 u k，修改子树上节点权值，将以节点 u 为根的子树上的所有节点的权值增加 k。
● 3 u v，询问路径，询问节点 u 和节点 v 之间路径上的所有节点（包括这两个节点）的权值和。
● 4 u，询问子树，询问以节点 u 为根的子树上的所有节点的权值和。

【输入格式】
第一行包含一个整数 n，表示节点个数。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示 ai。
接下来 n−1 行，每行包含两个整数 x,y，表示节点 x 和节点 y 之间存在一条边。
再一行包含一个整数 m，表示操作次数。
接下来 m 行，每行包含一个操作，格式如题目所述。

【输出格式】
对于每个操作 3 和操作 4，输出一行一个整数表示答案。

【数据范围】
1≤n,m≤10^5,
0≤ai,k≤10^5,
1≤u,v,x,y≤n

【输入样例】
5
1 3 7 4 5
1 3
1 4
1 5
2 3
5
1 3 4 3
3 5 4
1 3 5 10
2 3 5
4 1

【输出样例】
16
69

【算法分析】
● 树链剖分
（1）树链剖分的核心思想，就是将树中任意一条路径拆分成  段的连续区间（或重链）。拆分后，树的所有操作都可转化为区间操作，且通常采用线段树进行维护。
（2）树链剖分的几个概念
重儿子/轻儿子：结点个数最多的子树的根结点称为当前结点的重儿子，其他子结点称为当前结点的轻儿子。若当前结点存在多个结点个数相同的子树，则任选一个子树的根结点作为当前结点的重儿子。故易知每个结点的重儿子是唯一的。
重边/轻边：重儿子与父结点之间的边，称为重边。其他边称为轻边。
重链：重边构成的极大路径，称为重链。
DFS序：深度优先遍历树的重儿子，可保证树中各条重链结点的编号是连续的。此性质保证了树链剖分后各区间是连续的。
（3）将一条路径拆分为重链的过程，类似于求最近公共祖先（LCA）。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e5+5;
const int maxm=maxn<<1;
int val[maxn],e[maxm],ne[maxm],h[maxn],idx;//id[]:dfn sequence number of the node
//nv[]:point weight of each dfs sequence number
int id[maxn],nv[maxn],tot;//cnt[]:number of child nodes, top[]:vertex of heavy chain
//son[]:heavy son, fa[]:parent node
int dep[maxn],cnt[maxn],top[maxn],fa[maxn],son[maxn];int n,m;struct SegmentTree {int le,ri;LL sum,lazy;
} tr[maxn<<2];void add(int a,int b) {e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void dfs1(int u,int father,int depth) { //dfs1:pretreatmentdep[u]=depth,fa[u]=father,cnt[u]=1;for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {int j=e[i];if(j==father) continue;dfs1(j,u,depth+1);cnt[u]+=cnt[j];if(cnt[son[u]]<cnt[j]) son[u]=j; //heavy son}
}void dfs2(int u,int vx) { //dfs2:split, t:vertex of heavy chainid[u]=++tot,nv[tot]=val[u],top[u]=vx;if(!son[u]) return; //leaf nodedfs2(son[u], vx); //Heavy son's heavy chain splitfor(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) { //handle light sonint j=e[i];if(j==fa[u] || j==son[u]) continue;dfs2(j,j); //The vertex of the light son's heavy chain is himself}
}/*------------ Content of segment tree ------------*/void pushup(int u) {tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
}void pushdown(int u) {auto &rt=tr[u], &L=tr[u<<1], &R=tr[u<<1|1];if(rt.lazy) {L.sum+=rt.lazy*(L.ri-L.le+1);L.lazy+=rt.lazy;R.sum+=rt.lazy*(R.ri-R.le+1);R.lazy+=rt.lazy;rt.lazy=0;}
}void build(int u,int le,int ri) {tr[u]= {le,ri,nv[ri],0};if(le==ri) return;int mid=le+ri>>1;build(u<<1,le,mid), build(u<<1|1,mid+1,ri);pushup(u);
}void update(int u,int le,int ri,int k) {if(le<=tr[u].le && ri>=tr[u].ri) {tr[u].lazy+=k;tr[u].sum+=k*(tr[u].ri-tr[u].le+1);return;}pushdown(u);int mid=tr[u].le+tr[u].ri>>1;if(le<=mid) update(u<<1,le,ri,k);if(ri>mid) update(u<<1|1,le,ri,k);pushup(u);
}LL query(int u,int le,int ri) {if(le<=tr[u].le && ri>=tr[u].ri) return tr[u].sum;pushdown(u);int mid=(tr[u].le+tr[u].ri)>>1;LL res=0;if(le<=mid) res+=query(u<<1,le,ri);if(ri>mid) res+=query(u<<1|1,le,ri);return res;
}void update_path(int u,int v,int k) {while(top[u]!=top[v]) { //Climb up to find the same heavy chainif(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);//Because of dfs order, the id of the upper node//must be smaller than that of the lower nodeupdate(1,id[top[u]],id[u],k);u=fa[top[u]];}if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);//In the same heavy chain, the remaining intervals are processedupdate(1,id[v],id[u],k);
}LL query_path(int u,int v) {LL res=0;while(top[u]!=top[v]) { //Climb up to find the same heavy chainif(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);res+=query(1,id[top[u]],id[u]);u=fa[top[u]];}if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);//In the same heavy chain, the remaining intervals are processedres+=query(1,id[v],id[u]);return res;
}void update_tree(int u,int k) { //Add k to all the subtrees//Because of the order of dfs, the interval can be found directly//by the number of subtree nodesupdate(1,id[u],id[u]+cnt[u]-1,k);
}LL query_tree(int u) {//Because of the order of dfs, the interval can be found directly//by the number of subtree nodesreturn query(1,id[u],id[u]+cnt[u]-1);
}int main() {scanf("%d",&n);memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&val[i]);for(int i=1; i<n; i++) {int a,b;scanf("%d %d",&a,&b);add(a,b),add(b,a);}dfs1(1,-1,1);dfs2(1,1);build(1,1,n);scanf("%d",&m);while(m--) {int op,u,v,k;scanf("%d%d",&op,&u);if(op==1) {scanf("%d%d",&v,&k);update_path(u,v,k);} else if(op==2) {scanf("%d",&k);update_tree(u,k);} else if(op==3) {scanf("%d",&v);printf("%lld\n",query_path(u,v));} else printf("%lld\n",query_tree(u));}return 0;
}/*
in:
5
1 3 7 4 5
1 3
1 4
1 5
2 3
5
1 3 4 3
3 5 4
1 3 5 10
2 3 5
4 1out:
16
69
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/62664/
https://www.acwing.com/problem/content/video/2570/
https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/125497358