数据结构 | 二叉树（基本概念、性质、遍历、C代码实现）

1.树的基本概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，

其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此， 树是递归定义 的。

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点：度为0的结点称为叶结点；

分支结点：度不为0的结点； 

父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；

子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 

2.二叉树的基本概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.1特殊的二叉树

满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树

特征：前n-1层都是满的，最后一层可以不满，但最后一层从左到右必须是连续的。

ps: 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2 ＋1

4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)

5. 对于完全二叉树:

双亲序号：(i-1)/2  (i为子节点序号）

左孩子序号：2i+1  （i为双亲结点序号）

右孩子序号：2i+2 （i为双亲结点序号）

练习：一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

答案：B

详解：设有度为2节点n2个， 度为1节点n1个，度为0节点n0个,

767=n2+n1+n0

n2=n0-1

由上面两式可得：

767=n1+2n0-1

768=n1+2n0

由于2n0必为偶数，768为偶数，可得：n1为偶数

且完全二叉树中n1只能是1或0

因此n1=0

768=2n0

n0=384

4 .二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所

在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。本文主要针对二叉链。

5.二叉树的遍历

5.1 前序、中序以及后序遍历

1. 前序遍历——根节点 左子树 右子树

2. 中序遍历——左子树  根节点 右子树

3. 后序遍历——左子树 右子树  根节点

5.2 层序遍历

层序遍历：一层一层地往下遍历

6.二叉树代码实现

思路

前序/中序/后序遍历

递归思想：将当前的大问题拆解成小问题

以前序遍历为例：

当前问题——打印根，打印左子树，打印右子树

子问题——如图

递归返回条件——root==NULL

前序遍历代码

//前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历代码

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%d ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历代码

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

节点个数/叶子节点个数/树高/第k层叶子数

1.节点个数

递归思想：

情况1：空，0个

情况2：不为空，左子树+右子树+1

2.叶子节点个数

情况1：空，返回0

情况2：只有一个结点，返回1

情况3：左子树+右子树

3.树的高度

情况1：空，返回0

情况2：左子树和右子树高度中大的值+1

4.第k层叶子数

情况1：空，返回0

情况2：非空，k==1，返回1

情况3：非空,k>1,左子树第k-1层+右子树第k-1层

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL) {return 1;}return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+1;}int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL) {return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ?leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {if (root == NULL) {return 0;}if (k==1) {return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

查找值为x的节点

递归思想

情况1：空，返回NULL

情况2：不为空，根值为x，返回根节点

情况3：不为空，根值不为x，查找左子树，有则返回

             左子树中无，查找右子树，有则返回

             右子树中也无，返回空

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {BTNode* ret = NULL;if (root == NULL) {return NULL;}if (root->data == x) {ret = root;return ret;}if (BinaryTreeFind(root->left, x) != NULL) {ret = BinaryTreeFind(root->left, x);}if (BinaryTreeFind(root->right, x) != NULL) {ret = BinaryTreeFind(root->right, x);}
}

层序遍历/完全二叉树

层序遍历

1.根进队列

2.节点出队列时，该节点的子节点（非空）进队列

3.当队列为空时，循环结束

完全二叉树

1.进行层序遍历，空也进队列

2.遇到第一个空节点，开始判断，后面全空就是完全二叉树，后面有非空就不是完全二叉树

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (QueueSize(&q) > 0) {BTNode* head = QueueFront(&q);if (head->left) {QueuePush(&q, head->left);}if (head->right) {QueuePush(&q, head->right);}printf("%d", head->data);QueuePop(&q);}QueueDestroy(&q);
}bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (QueueSize(&q) > 0) {BTNode* head = QueueFront(&q);if (head == NULL) {break;}QueuePush(&q, head->left);QueuePush(&q, head->right);QueuePop(&q);}while(!QueueEmpty(&q)){BTNode* head = QueueFront(&q);if (head) {QueueDestroy(&q);return false;}QueuePop(&q);}QueueDestroy(&q);return true;
}

代码汇总

binarytree.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate();
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

binarytree.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "binarytree.h"
#include "queue.h"BTNode* BuyNode(BTDataType x) {BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode == NULL) {perror("malloc fail!");}newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;newnode->data = x;return newnode;
}BTNode* BinaryTreeCreate() {BTNode* Node1 = BuyNode(1);BTNode* Node2 = BuyNode(2);BTNode* Node3 = BuyNode(3);BTNode* Node4 = BuyNode(4);BTNode* Node5 = BuyNode(5);BTNode* Node6 = BuyNode(6);BTNode* Node7 = BuyNode(7);Node1->left = Node2;Node1->right = Node3;Node2->left = Node4;Node2->right = Node5;Node3->left = Node6;//Node6->left = Node7;return Node1;//返回根节点
}
//前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%d ", root->data);BinaryTreeInOrder(root->right);
}void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) {printf("N ");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}int BinaryTreeSize(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL) {return 1;}return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right)+1;}int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {if (root == NULL) {return 0;}if (root->left == NULL && root->right == NULL) {return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {if (root == NULL) {return 0;}if (k==1) {return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftHeight = TreeHeight(root->left);int rightHeight = TreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ?leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {BTNode* ret = NULL;if (root == NULL) {return NULL;}if (root->data == x) {ret = root;return ret;}if (BinaryTreeFind(root->left, x) != NULL) {ret = BinaryTreeFind(root->left, x);}if (BinaryTreeFind(root->right, x) != NULL) {ret = BinaryTreeFind(root->right, x);}
}void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (QueueSize(&q) > 0) {BTNode* head = QueueFront(&q);if (head->left) {QueuePush(&q, head->left);}if (head->right) {QueuePush(&q, head->right);}printf("%d", head->data);QueuePop(&q);}QueueDestroy(&q);
}bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (QueueSize(&q) > 0) {BTNode* head = QueueFront(&q);if (head == NULL) {break;}QueuePush(&q, head->left);QueuePush(&q, head->right);QueuePop(&q);}while(!QueueEmpty(&q)){BTNode* head = QueueFront(&q);if (head) {QueueDestroy(&q);return false;}QueuePop(&q);}QueueDestroy(&q);return true;
}void BinaryTreeDestory(BTNode* root) {if (root==NULL) {return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

在实现层序遍历时，会使用到队列。但由于C语言中没有现成的数据结构队列可以直接使用，需要自己实现。

queue.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QListNode{struct QListNode* next;QDataType data;
}QNode;// 队列的结构 
typedef struct Queue
{QNode* phead;QNode* ptail;int size;
}Queue;// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q);

queue.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "queue.h"
// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q) {assert(q);q->phead = q->ptail = NULL;q->size = 0;
}
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {assert(q);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL) {perror("malloc fail!");exit(1);}else {newnode->data = data;newnode->next = NULL;if (q->ptail == NULL) {q->phead = q->ptail = newnode;q->size++;}else {q->ptail->next =newnode;q->ptail = newnode;q->size++;}}
}
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q) {assert(q);assert(q->size != 0);if (q->phead->next == NULL) {free(q->ptail);q->ptail = q->phead = NULL;q->size--;}else {QNode* next = q->phead->next;free(q->phead);q->phead = next;q->size--;}
}
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q) {assert(q);assert(q->size > 0);return q->phead->data;
}
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q) {assert(q);assert(q->size > 0);return q->ptail->data;
}
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q) {assert(q);return q->size;
}
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
int QueueEmpty(Queue* q) {assert(q);return !QueueSize(q);
}
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q) {assert(q);while (q->size) {QueuePop(q);}q->phead = NULL;q->ptail = NULL;
}

7.堆及堆排序及TopK问题

详见我的另一篇文章~（TopK问题待更）

数据结构 | 详解二叉树——堆与堆排序