【数据结构】详解二叉树

1.树的结构及概念

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的

1.2树的相关结构概念

在一个树中，有下面几种结构概念：

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的为6，我们用一张图来更好的了解：

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
这里面的概念我们不需要全都记住，标黄的需要我们重点关注以下；

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。
我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstChild1;  // 第一个孩子结点   struct Node* pNextBrother;  // 指向其下一个兄弟结点  DataType data;   		    // 结点中的数据域            
};

在这个方法中，我们用firstchild指针找当前节点的第一个孩子节点（A），再用pnextbrother指针找到后续的孩子节点（B，C）找完之后接着用firstchild找到D，然后重复上面的操作，直到找完为止；

1.4树在实际中的应用

2.二叉树的结构及概念

2.1二叉树的概念

二叉树(Binary Tree) 是由n个结点构成的有限集(n≥0),该集合:

1. 或者为空；
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成；
   
   由上图我们可以得知：
   1.一个二叉树不存在度大于2的结点。
   2.二是结点的子树有左右之分，不能随意调换，调换后又是一棵新的二叉树。

对于任意一个二叉树都是由以下几种情况复合而成的；

2.2特殊的二叉树

2.2.1满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2.2.2完全二叉树

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。
对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
** 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树**。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^( i-1) 个结点.
2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n,度为2的分支结点个数为 m
   ,则有n＝m＋1;
4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps：是log以2
   为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对
   于序号为i的结点有：
   . 1.若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点;
   . 2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子;
   . 3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子;

2.4二叉树的存储结构

2.4.1顺序结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
   间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
   序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.4.2链表结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是:
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。