刚体运动描述：欧拉角与四元数

在机器人学中，刚体的运动描述是非常重要的，特别是当我们需要精确控制机器人的姿态时。欧拉角和四元数是两种常用的描述刚体在三维空间中旋转的方法。下面将分别介绍这两种方法并给出其特点。

欧拉角

定义与特点：

1. 定义：欧拉角是通过绕一个三维坐标系的三个轴依次旋转来定义的，通常按照某个固定的旋转顺序（如XYZ、ZYX等）进行。
2. 表示：欧拉角由三个角度组成，分别对应绕三个坐标轴的旋转。例如，在RPY（Roll-Pitch-Yaw）表示法中，Roll是绕X轴的旋转，Pitch是绕Y轴的旋转，Yaw是绕Z轴的旋转。
3. 问题：欧拉角存在一个被称为“万向节锁”的奇异现象。当第二个旋转轴的角度为90°或其倍数时，系统会丢失一个自由度，导致旋转矩阵的某个列为常数，从而在求解欧拉角时出现多解情况。

四元数

定义与特点：

1. 定义：四元数是一个四维向量，可以表示为q = w + xi + yj + zk，其中w是实数部分（或标量部分），而x, y, z是虚数部分（或向量部分）。四元数通常用于表示三维空间中的旋转。
2. 与旋转的关系：一个四元数q可以表示绕一个通过原点的轴旋转某个角度的操作。具体来说，如果有一个轴定义为单位向量[rx, ry, rz]，旋转角度为θ，则对应的四元数为q = [cos(θ/2), sin(θ/2)rx, sin(θ/2)ry, sin(θ/2)rz]。
3. 优势：四元数避免了欧拉角的万向节锁问题，因为它在表示旋转时使用了四个参数而不是三个，从而能够更稳定地描述旋转。此外，四元数在插值和组合旋转方面也具有优势。