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最小相位系统

news 2025/7/7 10:16:17

最小相位系统

1、传递函数

一个线性系统的响应。

比如一个RC低通滤波器：

Low_pass_filter

交流分量在电容的充放电中被滤除掉，通过设置电容器的电容值，以及电阻值，能够控制这种滤除能力，这个参数为RC。

电容的电抗为 $1/ j wC$ ，因此容易的写出其频率响应，其中 $V_{in} = \sum_{k=1}^{L}A_k\Re\{\exp(j\phi_k)\exp(jwt)\}$ ：
$V_{out} = \frac{1/jwC}{R+1/jwC} V_{in} = \frac{1}{1+jwRC} V_{in}$
将这个系数提出来：
$\frac{1}{1+jwRC}$
这是一个变量为角频率的复变函数。为了便于在二维空间展示，对其取模、取相角，分别得到幅频响应和相频响应。求逆傅立叶变换得到 $h (t)$ ，冲激函数响应。

此时的 $H (w)$ 是一种传递函数（transfer function）。

以上是简单情况，仅当输入信号存在傅立叶变换的时候才成立，傅立叶变换要求输入信号绝对可积。对于更一般的情况，对频率进行推广。傅立叶变换的核函数是 $e^{jwt}$ ，将纯虚数推广到复数，就能够对幅度进行调控，即 $e^{st}=e^{(a+jb)t}=e^{at}e^{jbt}$ 。至于衰减还是增加，取决于 $a$ 的正负。

得到：
$\frac{1}{1+sRC}$
当s取纯虚数的时候，等于频率响应。

为了便于分析，将 $H (s)$ 画在一个复平面上，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

这个系统是一个因果系统，没有输入的时候不会有输出。因此其时域响应是一个右边信号，因此其收敛域为 $\{s\mid |s|> -RC\}$ 。

包含虚轴，那么该系统稳定。有理+极点在左半平面，因此系统因果。

2、最小相位

比较相位大小，首先要保证幅频响应相同，或者说幅度增益相同，否则没有意义。

结论：系统首先要求因果+稳定

拉普拉斯变换：零极点都在左半复平面
z变换：零极点都在单位圆内

则是最小相位系统

首先系统要求稳定，即有界输入对应有界输出，其充要条件是ROC包含虚轴。

其次系统要求因果，即 $h(t)=0,\forall t<0$ ，暂时没有好的充要条件，但又一些有意义的结论：

必要条件：ROC是某个右半复平面。（ $h (t)$ 至少要求是右边信号，起点还不确定，所以仅仅是个必要条件）
充分条件：传递函数是有理的，并且ROC为最右侧极点的右半复平面。

那么，下面的讨论中，假设传递函数可以用有理函数表示。（这意味着其时域响应可以用复指数函数表示）
$\frac{N(s)}{D(s)} \tag{2-1}$

接下来再说什么情况下两个系统的幅度增益是相同的。
$|H_1(s)| = \frac{|N_1(s)|}{|D_1(s)|} =\frac{|N_2(s)|}{|D_2(s)|} =|H_2(s)| \tag{2-2}$
从上面公式（2-2）可以看出，幅度相同，意味着分子分母的幅度都相同。

根据有理传递函数的假设，其分子分母都可以用多项式表示，再由代数基本定理，该多项式可以写成连乘的形式。

先讨论分母，其中A是一个常数， $a_i,i=1,2,...,N$ ：
$A\Pi_{i=1}^N(1-a_is^{-1}) = A(1-a_1s^{-1})(1-a_2s^{-1})\cdots(1-a_Ns^{-1}) \tag{2-3}$
如果要求系统因果稳定，那么 $\Re\{a_i\}<0$ ，且ROC为右半平面。

因此必有 $D_1(s)=D_2(s)$ ，否则必有一个不满足因果稳定的条件。

再讨论分子，其中B是一个常数， $b_i,i=1,2,...,M$ ：
$B\Pi_{i=1}^M(1-b_is^{-i}) = B(1-b_1s^{-1})(1-b_2s^{-1})\cdots(1-b_Ms^{-1}) \tag{2-4}$
系统因果稳定跟分子没有关系，因此 $b_i\in C$ ，为任意复数。

因此，两个因果稳定的系统，幅度增益相同，相位响应不同，只能从分子入手，分母不能动。

对任意一项 $1-b_is^{-1})$ ，其中 $s=\sigma+jw,b_i = x+jy$ 。取相角：
$\phi = \measuredangle (1-b_is^{-1})= \arg (1-\frac{x+jy}{\sigma+jw}) =\arg(\frac{\sigma-x+j(w-y)}{\sigma+jw}) = \arg(Ke^{\phi_1-\phi_2}) \\ K = \frac{\sqrt{(\sigma-x)^2+(w-y)^2}}{\sqrt{\sigma^2+w^2}}\\ \phi = \phi_1-\phi_2 = \arctan2(\frac{w-y}{\sigma-x}) - \arctan(\frac{w}{\sigma})$

讨论相频响应，需要令 $\sigma=0$ ，频率 $w$ 从0开始递增，通常使用波特图来描述，横坐标用类似于np.linspace(1e-2,1e2,1000)的语句来描述。

因此 $\phi_2=\pi/2$ ， $\phi_1 = \arctan2(\frac{w-y}{-x})$ ，需要注意 $\arctan2$ 的输出范围是 $[-\pi,\pi)$ 。因此当 $- x > 0$ 为常数， $w - y > 0$ 的时候，返回的是一个一象限的锐角，因此 $\phi_1$ 从 $-\pi/2$ 递增到0。反过来将从 $\pi/2$ 递减到0

可以用python代码来描述这个过程：

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
# (1-bs^-1)
sigma = 0
Npoints = 1000
w = np.linspace(1e-1,100,Npoints)
s = sigma+1j*wb = -5+1j*0y1 = np.angle((1-b/s), deg=True)
y2 = np.angle((1+b.conjugate()/s), deg=True)x1 = np.abs(1-b/s)
x2 = np.abs(1+b.conjugate()/s)
plt.semilogx(w,y1,'ro')
plt.semilogx(w,y2,'b*')
plt.legend(["negtive poles","positive poles"])
plt.show()

上述推导属实令人费解，主要原因是我们采用了负幂来描述这个系统。实际上，在控制工程当中，使用正幂来描述连续时间系统会更加常见。

如果是正幂，那么分子中的一项为 $s-b_i)$ ，令s的实部为0，即 $s = j w$ ，那么
$\measuredangle(s-b_i) = arctan2(\frac{w-y}{-x}) \\ |(s-b_i)| = \sqrt{x^2+(w-y)^2} \tag{2-5}$
显然，要使得幅频响应不变，那么 $b_i$ 的虚部不能动，实部的正负可以变。

	$(w - y) > 0$	$(w - y) < 0$
实部为正（位于正半平面）	正钝角	负钝角
实部为负（位于负半平面）	正锐角	负锐角

所以，当实部为负，即零点在负半平面，随着频率的变化，相位变化相比于零点在正半平面更慢。也就是说相位变化小，即群时延小，阶跃响应建立更快，冲激响应能量更向0时刻集中。需要注意，最小相位系统，其相位延迟不一定是最小，但是相位变化一定是最小。比如一个最小相位系统的相位延迟了45度，另外一个相同幅频响应的系统相位延迟可能只有30度。

总结

Tip1:

关于最小相位系统有一些等价条件：

群时延最小的系统
冲激响应能量最靠近0时刻的系统
阶跃响应建立最快的系统
有理传递函数的情况下，零极点都在复平面的左半平面的系统
有理传递函数的情况下，对于离散时间系统，零极点都在单位圆内的系统
有理传递函数的情况下，系统和逆系统都是因果稳定的系统

Tip2:

最大相位系统：零点都在右半平面。因此这种系统因果稳定，但是其逆系统则不可能同时因果稳定。

Tip3:

一个零极点系统可以表示成最小相位系统和全通系统的乘积。

比如：
$\frac{s-1}{(s+3)(s+2)} = \frac{s-1}{(s+3)(s+2)}\times \frac{s-1}{s+1}$

$\frac{1-(2e^{j\pi/3})z^{-1}}{(1-3z^{-1})(5-z^{-1})} = \frac{z^{-1} - 2e^{-j\pi/3}}{(z^{-1}-3)(5-z^{-1})} \times \frac{1-(2e^{j\pi/3})z^{-1}}{z^{-1} - 2e^{-j\pi/3}} \times \frac{z^{-1}-3}{1-3z^{-1}}$

Tip4:

已知幅频响应，那么其最小相位系统的相频响应响应是唯一的。

最小相位系统