揭开FFT时域加窗的奥秘

FFT – Spectral Leakage

假设用于ADC输出数据分析的采样点数为N，而采样率为Fs，那我们就知道，这种情况下的FFT频谱分辨率为δf，那么δf=Fs/N。如果此时我们给ADC输入一个待测量的单频Fin，如果此时Fin除以δf不是整数，就会产生频率泄露。要尽可能保证测得的FFT不会产生频谱泄露，有两种方式进行处理，相干采样和时域加窗。

（1）相干采样

假设M是我们需要采样的输入信号的周期数，那么M/Fin=N/Fs，也就是两个时间长度是一致的，也就是Fin/ Fs=M/N，这个比值要能够被表达成为有理数（也就是整数或者分数）。N必须是2的幂数（这是从蝶形运算的角度考虑的）。M和N还必须要互为质数（这样可以避免重复采样相同位置的，重复采样周期信号相同的位置点不会获得额外的信息，因此不推荐M取非素数（素数，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数））。如果选择了M/N为非互质时，将导致信号周期性的量化，以及仅有少量的量化步进被测试。量化周期性的重复，建立了一个线谱，它是一个令人费解的实频率线（如下图2所示在谐波镜像之下的红线，这是由ADC的非线性导致的，而黑色痕迹则是因为量化周期的重复性导致的，也就是M/N为非互质导致的，图3是采用相干采样得到的结果。

从相干采样的描述来看，相干采样的输入信号Fin和采样频率Fs必须是同步信号。另外相干采样可以确保信号功率仅在一个FFT bin（也就是频谱分辨率）之中。

图1 想干采样定理：

图2 重复相同位置采样导致的谐波痕线抬升：

图3 相干采样改善还原了真实的非线性特性：

（2）时域加窗

如果采样的波形是非连续的，也就是采集的样本不是信号的整数倍周期，那么就需要消除这种现象，从而减小FFT的频谱泄露（注意不是完全改善），TI的官方文档为我们展示了这一现象，如下图3所示，对信号进行了时域加窗，加窗之后频谱泄露有所减小。

图4 非周期采样频谱泄露展示：

很明显No window（矩形窗）的旁瓣非常高，也就意味着，它的泄露抑制的不是很好。但是频率分辨率准确，幅值精度低。

• 不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截短产生了能量泄漏，而用 FFT 算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。(矩形窗 主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度 最低，但幅值识别精度最高)
• Hanning（汉宁窗）是使用最广泛的一种窗函数，除此之外还有，Hamming（海明窗），Flat-top 窗和 Balckman-Harris 窗，矩形窗产生最窄的谱线，加 Flat-top 窗谱线最宽。旁瓣的影响和精确频率分辨率 有时候是不可兼得的。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；Flat-top 窗主瓣 宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)

图5 TI官方的不同窗函数的频谱特性：

图6 不同应用使用的窗函数：

• Processing loss（dB），也叫做相干功率增益，对一个信号进行加窗操作之后将会减少信号在时域上的幅值，尤其是在窗函数的左右边界，这种幅度的减小会引入幅度误差，每个窗函数的这种处理损失不太一样，TI已经列于下表之中，矩形窗不存在损失。

• Scalloping loss（dB），由于FFT变换的结果是离散的，那么信号的频率有可能会落在两个FFT bin之间，这样原本的功率就会被分散到两个bin上，从而相对于原先的功率就会产生损失，这就叫做栅栏损失。

图7 不同窗函数使用的处理误差：

图8 不同窗函数的形状：

TI的ADC分析软件，内部已经对加窗处理损失进行修正。

大家可自行使用FFT分析软件分析一下非整周期采样使用各种窗口的结果，加深理解Highest side lobe level、Processing loss、Scalloping loss以及Half main lobe width。应用时域加窗技术会影响频谱分辨率。