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时间序列评价指标

评价指标

均方误差( M S E MSE MSE

  • 定义:预测值与实际值之间差异的平方和的平均值。
  • 公式: ( M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ) (MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2) (MSE=n1i=1n(yiy^i)2) 其中, ( y i ) (y_i) (yi)是实际值, ( y ^ i ) (\hat{y}_i) (y^i) 是预测值, ( n ) (n) (n) 是样本数量。
  • 特点: M S E MSE MSE是最常用的评价指标之一,它直接反映了预测误差的大小。然而, M S E MSE MSE对异常值比较敏感。

平均绝对误差( M A E MAE MAE

  • 定义:预测值与实际值之间差异的绝对值的平均值。
  • 公式: ( M A E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ ) (MAE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i - \hat{y}_i|) (MAE=n1i=1nyiy^i)
  • 特点:与 M S E MSE MSE相比, M A E MAE MAE对异常值不敏感。但是, M A E MAE MAE没有考虑误差的平方,可能会低估误差的大小。

平均绝对百分比误差( M A P E MAPE MAPE

  • 定义:预测值与实际值之间差异的绝对值与实际值的比值的平均值。
  • 公式: ( M A P E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i y i ∣ × 100 (MAPE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i}\right| \times 100%) (MAPE=n1i=1n yiyiy^i ×100(注意:当实际值为 0 0 0时, M A P E MAPE MAPE无法计算)
  • 特点: M A P E MAPE MAPE考虑了实际值的大小,可以帮助评估模型的相对误差。但是,对于含有零值的数据集, M A P E MAPE MAPE可能不适用。

均方根误差( R M S E RMSE RMSE

  • 定义:均方误差的平方根。
  • 公式: ( R M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ) (RMSE = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}) (RMSE=n1i=1n(yiy^i)2 )
  • 特点: R M S E RMSE RMSE M S E MSE MSE类似,但它与实际值的单位相同,因此更加直观。然而, R M S E RMSE RMSE​​同样对异常值敏感。

决定系数(R-squared,通常表示为( R 2 R^2 R2))

是回归分析中用于量化模型预测能力的一个统计量。它表示模型中自变量对因变量变化的解释程度,即模型能够解释的因变量变异的比例。

  • 定义

    决定系数( R 2 R^2 R2)的范围在 0 0 0 1 1 1之间,其中:

​ ( R 2 = 1 R^2 = 1 R2=1):表示模型完美地拟合了数据,即所有的观测点都落在回归线上。

​ ( R 2 = 0 R^2 = 0 R2=0):表示模型没有解释任何因变量的变异,模型的预测值与观测值的平均值没有区别。

​ ( 0 < R 2 < 1 0 < R^2 < 1 0<R2<1):表示模型解释了部分但非全部的因变量变异。

  • 计算方法

R 2 = 1 − ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2} R2=1i=1n(yiyˉ)2i=1n(yiy^i)2

​ 其中:

​ ( Sum of Squared Residuals (SSR) \text{Sum of Squared Residuals (SSR)} Sum of Squared Residuals (SSR)) 是预测值与实际值之差的平方和,也称为残差平方和( R e s i d u a l S u m o f S q u a r e s , R S S Residual Sum of Squares,RSS ResidualSumofSquaresRSS)。

​ ( Total Sum of Squares (SST) \text{Total Sum of Squares (SST)} Total Sum of Squares (SST)) 是因变量实际值与其均值之差的平方和,也称为总平方和( T o t a l S u m o f S q u a r e s , T S S Total Sum of Squares,TSS TotalSumofSquaresTSS)。

  • 解释

( R 2 R^2 R2)值越接近 1 1 1,说明模型的拟合效果越好,能够解释的因变量变异比例越高。但是,也需要注意以下几点:

​ ( R 2 R^2 R2)的增加不一定意味着模型预测能力的实质性提高。在某些情况下,简单地增加模型中的变量 数量(即使这些变量与因变量没有真正的关联)也可能导致( R 2 R^2 R2)的增加,但这并不意味着模型的 实际预测能力有所提高。因此,需要谨慎地解释和比较不同模型的( R 2 R^2 R2)值。

​ ( R 2 R^2 R2)值也受样本大小的影响。在样本量很大时,即使很小的效应也可能导致较高的(R^2)值。因 此,在比较不同数据集上的模型时,需要考虑到这一点。

​ 在某些情况下,即使( R 2 R^2 R2)值较低,模型也可能具有实际预测价值。特别是在处理具有复杂非线性 关系或存在大量随机噪声的数据时,很难达到很高的( R 2 R^2 R2)值。因此,在评估模型时,还需要考虑 其他因素(如模型的稳健性、可解释性等)。

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