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时间序列评价指标

news 2026/2/7 14:23:11

评价指标

均方误差（ $MSE$ ）

定义：预测值与实际值之间差异的平方和的平均值。
公式： $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2)$ 其中， $y_i)$ 是实际值， $(\hat{y}_i)$ 是预测值， $(n)$ 是样本数量。
特点： $MSE$ 是最常用的评价指标之一，它直接反映了预测误差的大小。然而， $MSE$ 对异常值比较敏感。

平均绝对误差（ $M A E$ ）

定义：预测值与实际值之间差异的绝对值的平均值。
公式： $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i - \hat{y}_i|)$
特点：与 $MSE$ 相比， $M A E$ 对异常值不敏感。但是， $M A E$ 没有考虑误差的平方，可能会低估误差的大小。

平均绝对百分比误差（ $M A PE$ ）

定义：预测值与实际值之间差异的绝对值与实际值的比值的平均值。
公式： $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{y_i - \hat{y}_i}{y_i}\right| \times 100%)$ （注意：当实际值为 $0$ 时， $M A PE$ 无法计算）
特点： $M A PE$ 考虑了实际值的大小，可以帮助评估模型的相对误差。但是，对于含有零值的数据集， $M A PE$ 可能不适用。

均方根误差（ $RMSE$ ）

定义：均方误差的平方根。
公式： $\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2})$
特点： $RMSE$ 与 $MSE$ 类似，但它与实际值的单位相同，因此更加直观。然而， $RMSE$ 同样对异常值敏感。

决定系数（R-squared，通常表示为( $R^2$ )）

是回归分析中用于量化模型预测能力的一个统计量。它表示模型中自变量对因变量变化的解释程度，即模型能够解释的因变量变异的比例。

定义

决定系数( $R^2$ )的范围在 $0$ 到 $1$ 之间，其中：

( $R^2 = 1$ )：表示模型完美地拟合了数据，即所有的观测点都落在回归线上。

( $R^2 = 0$ )：表示模型没有解释任何因变量的变异，模型的预测值与观测值的平均值没有区别。

( $0 < R^2 < 1$ )：表示模型解释了部分但非全部的因变量变异。

计算方法

$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}$

其中：

( $\text{Sum of Squared Residuals (SSR)}$ ) 是预测值与实际值之差的平方和，也称为残差平方和（ $R es i d u a lS u m o f Sq u a res ， RSS$ ）。

( $\text{Total Sum of Squares (SST)}$ ) 是因变量实际值与其均值之差的平方和，也称为总平方和（ $T o t a lS u m o f Sq u a res ， TSS$ ）。

解释

( $R^2$ )值越接近 $1$ ，说明模型的拟合效果越好，能够解释的因变量变异比例越高。但是，也需要注意以下几点：

( $R^2$ )的增加不一定意味着模型预测能力的实质性提高。在某些情况下，简单地增加模型中的变量数量（即使这些变量与因变量没有真正的关联）也可能导致( $R^2$ )的增加，但这并不意味着模型的实际预测能力有所提高。因此，需要谨慎地解释和比较不同模型的( $R^2$ )值。

( $R^2$ )值也受样本大小的影响。在样本量很大时，即使很小的效应也可能导致较高的(R^2)值。因此，在比较不同数据集上的模型时，需要考虑到这一点。

在某些情况下，即使( $R^2$ )值较低，模型也可能具有实际预测价值。特别是在处理具有复杂非线性关系或存在大量随机噪声的数据时，很难达到很高的( $R^2$ )值。因此，在评估模型时，还需要考虑其他因素（如模型的稳健性、可解释性等）。