时间序列评价指标

评价指标

均方误差（$MSE$）

• 定义：预测值与实际值之间差异的平方和的平均值。
• 公式：$(MSE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2)$ 其中，$(y_i)$是实际值，$({\hat{y}}_i)$ 是预测值，$(n)$ 是样本数量。
• 特点：$MSE$是最常用的评价指标之一，它直接反映了预测误差的大小。然而，$MSE$对异常值比较敏感。

平均绝对误差（$MAE$）

• 定义：预测值与实际值之间差异的绝对值的平均值。
• 公式：$(MAE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n|y_i-{\hat{y}}_i|)$
• 特点：与$MSE$相比，$MAE$对异常值不敏感。但是，$MAE$没有考虑误差的平方，可能会低估误差的大小。

平均绝对百分比误差（$MAPE$）

• 定义：预测值与实际值之间差异的绝对值与实际值的比值的平均值。
• 公式：$(MAPE=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\left|\frac{y_i-{\hat{y}}_i}{y_i}\right|\times 100$（注意：当实际值为$0$时，$MAPE$无法计算）
• 特点：$MAPE$考虑了实际值的大小，可以帮助评估模型的相对误差。但是，对于含有零值的数据集，$MAPE$可能不适用。

均方根误差（$RMSE$）

• 定义：均方误差的平方根。
• 公式：$(RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2})$
• 特点：$RMSE$与$MSE$类似，但它与实际值的单位相同，因此更加直观。然而，$RMSE$​​同样对异常值敏感。

决定系数（R-squared，通常表示为($R^2$)）

是回归分析中用于量化模型预测能力的一个统计量。它表示模型中自变量对因变量变化的解释程度，即模型能够解释的因变量变异的比例。

• 定义

  决定系数($R^2$)的范围在$0$到$1$之间，其中：

​ ($R^2=1$)：表示模型完美地拟合了数据，即所有的观测点都落在回归线上。

​ ($R^2=0$)：表示模型没有解释任何因变量的变异，模型的预测值与观测值的平均值没有区别。

​ ($0<R^2<1$)：表示模型解释了部分但非全部的因变量变异。

• 计算方法

​ $R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}$

​ 其中：

​ ($\text{Sum of Squared Residuals (SSR)}$) 是预测值与实际值之差的平方和，也称为残差平方和（ $ResidualSumofSquares，RSS$）。

​ ($\text{Total Sum of Squares (SST)}$) 是因变量实际值与其均值之差的平方和，也称为总平方和（ $TotalSumofSquares，TSS$）。

• 解释

($R^2$)值越接近$1$，说明模型的拟合效果越好，能够解释的因变量变异比例越高。但是，也需要注意以下几点：

​ ($R^2$)的增加不一定意味着模型预测能力的实质性提高。在某些情况下，简单地增加模型中的变量 数量（即使这些变量与因变量没有真正的关联）也可能导致($R^2$)的增加，但这并不意味着模型的 实际预测能力有所提高。因此，需要谨慎地解释和比较不同模型的($R^2$)值。

​ ($R^2$)值也受样本大小的影响。在样本量很大时，即使很小的效应也可能导致较高的(R^2)值。因 此，在比较不同数据集上的模型时，需要考虑到这一点。

​ 在某些情况下，即使($R^2$)值较低，模型也可能具有实际预测价值。特别是在处理具有复杂非线性 关系或存在大量随机噪声的数据时，很难达到很高的($R^2$)值。因此，在评估模型时，还需要考虑 其他因素（如模型的稳健性、可解释性等）。