支持向量机（SVM）中核函数的本质意义

本质上在做什么？
内积是距离度量，核函数相当于将低维空间的距离映射到高维空间的距离，并非对特征直接映射。
为什么要求核函数是对称且Gram矩阵是半正定？
核函数对应某一特征空间的内积，要求①核函数对称；②Gram矩阵半正定。
证明内积对应的Gram矩阵半正定：
$\begin{array}{rl}{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{\alpha }& =\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\kappa \left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_1\right)& \kappa \left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\right)& \cdots & \kappa \left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_n\right)\\ \kappa \left({\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_1\right)& \kappa \left({\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_2\right)& \cdots & \kappa \left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_n\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \kappa \left({\mathbf{x}}_n,{\mathbf{x}}_1\right)& \kappa \left({\mathbf{x}}_n,{\mathbf{x}}_2\right)& \cdots & \kappa \left({\mathbf{x}}_n,{\mathbf{x}}_n\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i\kappa \left({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j\right){\alpha }_j\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j⟨\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right),\varphi \left({\mathbf{x}}_j\right)⟩\\ & =⟨\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right),\sum _{j=1}^n{\alpha }_j\varphi \left({\mathbf{x}}_j\right)⟩\\ & =\Vert \sum _{i=1}^n{\alpha }_i\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right){\Vert }_2^2\\ & ⩾0\end{array}$