多元多项式的特征列与零点的关系定理

下面这个定理来自《计算机代数》6.1三角列与特征列（王东明、夏壁灿著）

【定理】

设$\mathbb{C}=\left[C_1,\dots ,C_r\right]$为多项式组$\mathbb{P}\subset \mathcal{K}[\mathbf{x}]$的特征列，且命

I i = i n i ( C i ) P i = P ∪ { I i } i = 1 , … , r I_{i} = ini\left( C_{i} \right)\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}_{i}\mathbb{= P \cup}\left\{ I_{i} \right\}\ \ \ \ \ i = 1,\ldots,r Ii​=ini(Ci​)      Pi​=P∪{Ii​}     i=1,…,r

I = i n i ( C ) = { I 1 , … , I r } \mathbb{I =}ini\left( \mathbb{C} \right) = \left\{ I_{1},\ldots,I_{r} \right\} I=ini(C)={I1​,…,Ir​}

则

$$Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\right)$$

$$Zero\left(\mathbb{P}\right)=Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup \bigcup _{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$$

在$\mathcal{K}$以及$\mathcal{K}$的任意扩域中成立

【证明】

1. $Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$

由于$\mathbb{C}=\left[C_1,\dots ,C_r\right]$为多项式组$\mathbb{P}\subset \mathcal{K}[\mathbf{x}]$的特征列，所以 p r e m ( P , C ) = { 0 } prem\left( \mathbb{P,C} \right) = \left\{ 0 \right\} prem(P,C)={0}，也就是说对于任意$P\in \mathbb{P}$，都有

$$I_1^{q_1}\dots I_r^{q_r}P=\sum _{i=1}^r{C}_i$$

而对于任意的$x\in Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)$，都有$x\notin Zero\left(I_1^{q_1}\dots I_r^{q_r}\right)$且$x\in Zero\left(C_i\right)$，那么$P=0$，可得$x\in Zero\left(\mathbb{P}\right)$，即$Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$。

2. $Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\right)$

根据特征列的定义，有$\mathbb{C}\subset ⟨\mathbb{P}⟩$，也就是

$$C_i=\sum _{P\in \mathbb{P}}{k}_{P}P$$

所以，当多项式$P$的值为$0$时，$C_i$必为$0$，即$Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\right)$。

3. $Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$

设$x\in Zero\left(\mathbb{P}\right)$，根据2，那么有$x\in Zero\left(\mathbb{C}\right)$。

若$x\in Zero\left(\mathbb{I}\right)$，则$x\in {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left(I_i\right)$，又因为$x\in Zero\left(\mathbb{P}\right)$，所以$x\in {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$；

若$x\notin Zero\left(\mathbb{I}\right)$，结合$x\in Zero\left(\mathbb{C}\right)$，可得$x\in Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)$。

结合上述两种情况的讨论，可得$Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$。

4. $Zero\left(\mathbb{P}\right)\supset Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$

根据1，$Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$；

因为$Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$，所以${\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$。

综合可得$Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup {\bigcup }_{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)$

综合1、2可得
$$Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\subset Zero\left(\mathbb{P}\right)\subset Zero\left(\mathbb{C}\right)$$

综合3、4可得
$$Zero\left(\mathbb{P}\right)=Zero\left(\mathbb{C}\backslash \mathbb{I}\right)\cup \bigcup _{i=1}^{r}Zero\left({\mathbb{P}}_i\right)$$