【抽代复习笔记】19-群（十三）：奇偶置换、循环置换的几个定理及例题

定义：

①在Sn中，能够表示为奇数多个对换乘积的置换称为“奇置换”，能够表示为偶数多个对换乘积的置换称为“偶置换”；

②所有偶置换的集合记为An。

 

例1：（1）计算S1和S2中奇、偶置换的数目；

（2）计算S3中奇偶置换的数目。

解：（1）S2 = {(1),(12)}，其中(12)是奇置换，(1) = (12)(12)是偶置换，所以S2中奇偶置换各自的数目均为1个；

（2）S3 = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，其中(12),(13),(23)为奇置换，(1) = (12)(12),(123) = (13)(12),(132) = (12)(13)是偶置换，因此S3中奇偶置换各自的数目均为3个。

 

定理5：n ≥ 2时，Sn中奇、偶置换各占一半，即|An| = n!/2。

证：设|An| = s，|Sn - An| = t，（Sn - An表示Sn中所有奇置换组成的集合）

任取σ∈An，取对换(12)∈Sn，由于σ为偶置换，因此置换 (12)σ 为奇置换，

即 (12)σ∈Sn - An，

从而，根据σ的任意性，可知|An| ≤ |Sn - An|，即s ≤ t；

同理，任取r∈Sn - An，(12)σ ∈ An，

因此有|An| ≥ |Sn - An|，即s ≥ t；

所以有 s = t，也就是说Sn中奇、偶置换的数目相等，彼此各占一半。

 

例2：在S5中，将下列循环的乘积表示为矩阵形式：

（1）(145)(23),(23)(145)；

（2）(13)(25),(25)(13)。

解：按从右到左计算：

（1）①先是2和3对换，然后1变4、4变5、5变1，因此表示成矩阵形式如下：

②先是1变4、4变5、5变1，然后是2和3对换，因此表示成矩阵形式如下：

（2）①先是2和5对换，然后1和3对换，因此表示成矩阵形式如下：

②先是1和3对换，然后2和5对换，因此表示成矩阵形式如下：

 

定理6：两个不相交的循环置换的乘积可交换。

 

例3：求

的逆元。

解：σ5 = (1245)，则由：

可求出σ5的逆元，因为(1245)(1542) = (1)，因此σ5的逆元为(1542) = (5421)，即：

 

定理7：k-循环的逆元等于反序写出的循环，即

 

例4：在S6中，计算下列置换的阶：

（1）(235)；

（2）(1254)；

（3）(13)(256)；

（4）(13)(24)。

解：（1）(235)^2 = (235)(235) = (253)，(235)^3 = (235)(235)(235) = (253)(235) = (1)，所以|(235)| = 3；

（2）(1254)^2 = (1254)(1254) = (15)(24)，(1254)^3 = (1254)(1254)(1254) = (15)(24)(1254) = (1452)，(1254)^4 = (1254)(1254)(1254)(1254) = (1452)(1254) = (1)，所以|(1254)| = 4；

（3）|(13)(256)| = |(13)|×|(256)| = 2×3 = 6；

（4）[(13)(24)]^2 = (13)(24)(13)(24) = (1)，所以|(13)(24)| = 2。

 

定理8：

（1）k-循环的阶等于k；

（2）如果一个置换σ可以表示为一个k-循环和一个l-循环的乘积，那么|σ|等于k,l的最小公倍数。

 

（待续……）