数学建模基础：非线性模型

目录

前言

一、非线性方程组

二、非线性规划

三、微分方程模型

四、非线性模型的应用

五、实例示范：传染病传播模型

实例总结

五、总结

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前言

非线性模型用于描述变量之间的非线性关系，相比线性模型，其数学形式更为复杂，但可以更准确地描述实际问题。非线性模型在工程、经济、科学研究等领域有广泛应用。本文将详细介绍非线性方程组、非线性规划、微分方程模型及其应用。

一、非线性方程组

非线性方程组是多个变量的非线性方程组合，其求解通常比较复杂，需要使用数值方法。Matlab 提供了 fsolve 函数用于求解非线性方程组。

1. 求解非线性方程组
   • 假设我们有以下非线性方程组：

    % 定义非线性方程组fun = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; exp(x(1)) + x(2) - 2];% 初始猜测值x0 = [0, 0];% 求解非线性方程组[x, fval] = fsolve(fun, x0);

以下表格总结了求解非线性方程组的常用方法：

方法	示例	说明
fsolve	[x, fval] = fsolve(fun, x0);	使用 fsolve 函数求解

二、非线性规划

非线性规划用于求解目标函数或约束条件为非线性的问题。常见求解方法包括梯度下降法、信赖域方法等。Matlab 提供了 fminunc 和 fmincon 等函数用于求解非线性规划问题。

1. 求解非线性规划（无约束）
   • 假设我们需要最小化以下目标函数：

    % 定义目标函数fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - cos(2*pi*x(1)) - cos(2*pi*x(2));% 初始猜测值x0 = [0, 0];% 求解无约束非线性规划问题[x, fval] = fminunc(fun, x0);

1. 求解非线性规划（有约束）
   • 假设我们需要最小化以上目标函数，同时约束条件为 。

    % 定义目标函数fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - cos(2*pi*x(1)) - cos(2*pi*x(2));% 定义非线性约束nonlcon = @(x) deal([], x(1)^2 + x(2)^2 - 1);% 初始猜测值x0 = [0, 0];% 求解有约束非线性规划问题options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter');[x, fval] = fmincon(fun, x0, [], [], [], [], [], [], nonlcon, options);

以下表格总结了求解非线性规划的常用方法：

方法	示例	说明
fminunc	[x, fval] = fminunc(fun, x0);	求解无约束非线性规划问题
fmincon	[x, fval] = fmincon(fun, x0, [], [], [], [], [], [], nonlcon);	求解有约束非线性规划问题

三、微分方程模型

微分方程用于描述系统的动态行为，广泛应用于物理、化学、生物等领域。常见的微分方程模型包括常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）等。

1. 常微分方程
   • 常微分方程描述一个或多个自变量的函数及其导数之间的关系。Matlab 提供了 ode45 和 ode23 等函数用于求解常微分方程。

    % 定义常微分方程dydt = @(t, y) t * y;% 求解常微分方程[t, y] = ode45(dydt, [0, 2], 1);% 绘制结果plot(t, y);title('Solution of ODE');xlabel('t');ylabel('y');grid on;

1. 偏微分方程
   • 偏微分方程描述多个自变量的函数及其偏导数之间的关系。Matlab 提供了 pdepe 函数用于求解偏微分方程。

    % 定义偏微分方程m = 0;pdefun = @(x, t, u, DuDx) DuDx;   % PDEicfun = @(x) sin(pi * x);         % Initial conditionsbcfun = @(xl, ul, xr, ur, t) [ul; ur]; % Boundary conditions% 求解偏微分方程x = linspace(0, 1, 20);t = linspace(0, 2, 20);sol = pdepe(m, pdefun, icfun, bcfun, x, t);% 绘制结果surf(x, t, sol);title('Solution of PDE');xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');

以下表格总结了求解微分方程的常用方法：

方法	示例	说明
ode45	[t, y] = ode45(dydt, [0, 2], 1);	求解常微分方程
pdepe	sol = pdepe(m, pdefun, icfun, bcfun, x, t);	求解偏微分方程

四、非线性模型的应用

非线性模型在实际应用中发挥了重要作用，以下是几个典型应用示例：

1. 人口增长模型
   • 使用 Logistic 增长模型描述人口增长。

    % Logistic 增长模型r = 0.1;  % 增长率K = 1000; % 环境承载力P0 = 100; % 初始人口t = 0:0.1:20; % 时间P = K ./ (1 + (K/P0 - 1) * exp(-r * t)); % Logistic 公式% 绘制结果plot(t, P);title('Logistic Growth Model');xlabel('Time');ylabel('Population');grid on;

1. 传染病模型
   • 使用 SIR 模型描述传染病传播。

    % SIR 模型beta = 0.3;  % 传染率gamma = 0.1; % 治愈率S0 = 999;    % 初始易感者人口I0 = 1;      % 初始感染者人口R0 = 0;      % 初始治愈者人口N = S0 + I0 + R0; % 总人口% 定义 SIR 模型sir_model = @(t, y) [-beta * y(1) * y(2) / N; beta * y(1) * y(2) / N - gamma * y(2); gamma * y(2)];% 求解 SIR 模型[t, y] = ode45(sir_model, [0, 100], [S0, I0, R0]);% 绘制结果plot(t, y);title('SIR Model');xlabel('Time');ylabel('Population');legend('Susceptible', 'Infected', 'Recovered');grid on;

1. 物理系统模拟
   • 使用单摆模型模拟物体运动。

2.     % 单摆模型g = 9.81;  % 重力加速度 (m/s^2)L = 1.0;   % 摆长 (m)theta0 = pi / 6;  % 初始角度 (弧度)omega0 = 0;  % 初始角速度 (rad/s)% 定义单摆微分方程pendulum_ode = @(t, y) [y(2); - (g / L) * sin(y(1))];% 求解单摆模型[t, y] = ode45(pendulum_ode, [0, 10], [theta0, omega0]);% 绘制结果plot(t, y(:,1));title('Pendulum Simulation');xlabel('Time (s)');ylabel('Angle (rad)');grid on;
   

    

   单摆模型结果如下所示：

3. 金融模型
   • 使用非线性模型描述期权定价问题，例如著名的 Black-Scholes 模型。

4.     % Black-Scholes 模型S = 100;  % 当前股票价格K = 100;  % 期权执行价格r = 0.05; % 无风险利率T = 1;    % 到期期限 (年)sigma = 0.2;  % 波动率% 定义期权定价公式d1 = (log(S / K) + (r + sigma^2 / 2) * T) / (sigma * sqrt(T));d2 = d1 - sigma * sqrt(T);% 计算欧式看涨期权价格C = S * normcdf(d1) - K * exp(-r * T) * normcdf(d2);disp(['European Call Option Price: ', num2str(C)]);
   

    

   Black-Scholes 模型的结果将显示期权的价格：

       European Call Option Price: 10.45
   

5. 环境科学
   • 使用非线性模型预测环境污染物的浓度变化。例如，使用 Michaelis-Menten 方程描述酶促反应速率。

6.     % Michaelis-Menten 方程参数Vmax = 1.5;  % 最大反应速率Km = 0.5;    % 米氏常数% 底物浓度 (μM)S = 0:0.1:10;% 计算反应速率v = (Vmax * S) ./ (Km + S);% 绘制结果plot(S, v);title('Michaelis-Menten Kinetics');xlabel('Substrate Concentration (μM)');ylabel('Reaction Rate (μM/min)';grid on;
   

    
    

   下表总结了非线性模型的典型应用领域及相应的 Matlab 操作：

    

   应用领域	说明	示例函数
   人口增长模型	使用 Logistic 增长模型描述人口增长	exp, plot
   传染病模型	使用 SIR 模型描述传染病传播	ode45, plot
   物理系统模拟	使用单摆模型模拟物体运动	ode45, plot
   金融模型	使用 Black-Scholes 模型定价期权	normcdf, disp
   环境科学	使用 Michaelis-Menten 方程描述酶促反应速率	plot

    

   五、实例示范：传染病传播模型

    

   为了更好地理解非线性模型，我们通过一个实例展示 SIR 模型在传染病传播中的应用。

    

   假设我们需要模拟某传染病在一个1000人的社区内的传播情况，初始状态下有1个感染者，999个易感者。我们假设传染率（）为0.3，治愈率（）为0.1。

7. 定义模型参数

8.     beta = 0.3;   % 传染率gamma = 0.1;  % 治愈率S0 = 999;     % 初始易感者人口I0 = 1;       % 初始感染者人口R0 = 0;       % 初始治愈者人口N = S0 + I0 + R0;  % 社区总人口数
   

9. 定义 SIR 模型

10.     sir_model = @(t, y) [-beta * y(1) * y(2) / N;  % 易感者变化率beta * y(1) * y(2) / N - gamma * y(2);  % 感染者变化率gamma * y(2)  % 治愈者变化率];
    

11. 求解微分方程

12.     % 定义求解时间范围tspan = [0, 100];% 初始条件y0 = [S0, I0, R0];% 求解 SIR 模型[t, y] = ode45(sir_model, tspan, y0);
    

13. 可视化结果

14.     % 绘制结果plot(t, y);title('SIR Model of Infectious Disease Spread');xlabel('Time');ylabel('Population');legend({'Susceptible', 'Infected', 'Recovered'}, 'Location', 'Best');grid on;
    

    实例总结

     

    通过上述实例，我们展示了非线性模型在传染病传播中的应用，并通过 Matlab 进行了建模、求解和仿真。以下是该模型应用的总结：

     

    步骤	说明	示例
    定义模型参数	定义传染率、治愈率和初始状态	beta = 0.3; gamma = 0.1; S0 = 999; I0 = 1;
    定义模型	定义 SIR 模型	sir_model = @(t, y) [...];
    求解微分方程	使用 ode45 求解微分方程	[t, y] = ode45(sir_model, tspan, y0);
    可视化结果	绘制易感者、感染者和治愈者人口随时间变化的曲线	plot(t, y); title(...); xlabel(...);

     

    五、总结

     

    本文详细介绍了非线性模型及其在实际中的应用，包括非线性方程组、非线性规划、微分方程模型及其应用领域。通过实际案例，我们演示了如何使用 Matlab 建立和求解非线性模型，如人口增长模型、传染病模型、物理系统模拟和金融模型等。

     

    使用非线性模型可以更准确地描述和预测复杂系统的行为，掌握这些工具和方法将大大提高我们在科学研究和工程实践中的建模能力和决策水平。

     

    下表总结了非线性模型的基础知识和应用领域：

     

    模型类型	说明	示例函数
    非线性方程组	用于求解多个变量的非线性方程	fsolve(fun, x0);
    非线性规划（无约束）	用于求解无约束非线性优化问题	fminunc(fun, x0);
    非线性规划（有约束）	用于求解有约束非线性优化问题	fmincon(fun, x0, [], [], [], [], [], [], nonlcon);
    常微分方程	用于描述系统的动态行为，通过ODE求解	ode45(dydt, tspan, y0);
    偏微分方程	用于描述多个变量的动态行为，通过PDE求解	pdepe(m, pdefun, icfun, bcfun, x, t);
    人口增长模型	Logistic增长模型描述人口增长	plot(t, P);
    传染病模型	SIR 模型描述传染病传播	ode45(sir_model, tspan, y0);
    物理系统模拟	单摆模型描述物体运动	ode45(pendulum_ode, tspan, y0);
    金融模型	Black-Scholes 模型定价期权	normcdf(d1); normcdf(d2);
    环境科学	Michaelis-Menten 方程描述酶促反应速率	plot(S, v);