椭圆的矩阵表示法

椭圆的矩阵表示法

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1. 标准几何表示法

标准几何表示法是通过椭圆的几何定义来表示的：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$ 是椭圆的长半轴长度，$b$ 是椭圆的短半轴长度。

2. 线性代数表示法

线性代数表示法是通过椭圆的二次型表示的：
$${\mathbf{x}}^T{\Sigma }^{-1}\mathbf{x}=c$$其中，$\mathbf{x}$ 是点的向量表示 $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$，$\Sigma$ 是一个正定矩阵（协方差矩阵的逆），$c$ 是一个常数。

推导两者之间的关系

我们通过具体推导来看这两者之间的关系：

假设我们有一个标准形式的椭圆方程：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
可以将其改写为矩阵形式：
$$\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a^2}& 0\\ 0& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=1$$在这里，矩阵 $$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a^2}& 0\\ 0& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)$$ 就是 ${\Sigma }^{-1}$，而常数 $c=1$。
因此，标准形式的椭圆方程可以被视为线性代数表示法的一种特例，其中：
$${\Sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a^2}& 0\\ 0& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)$$
这也意味着：
$$\Sigma =\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& b^2\end{array}\right)$$

更一般的情况

如果椭圆不是标准形式的（例如旋转过或者平移过的椭圆），其线性代数表示法中的矩阵 $\Sigma$ 将不是对角矩阵，而是一个包含非零的非对角元素的矩阵。

1. 椭圆的几何定义

设椭圆的两个焦点分别为 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$，椭圆上的任意一点 $P(x,y)$ 满足以下条件：
$$P{F}_1+P{F}_2=2a$$
其中，$2a$ 是椭圆的长轴长度，$a$ 是长半轴的长度。

2. 代入距离公式

根据距离公式，可以得到 $P$ 到 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离分别为：
$$P{F}_1=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$$
$$P{F}_2=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$$根据椭圆的定义，有：
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a$$

3. 消除根号

为了简化这个方程，我们首先将方程两边平方：
$${\left(\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\right)}^2=(2a{)}^2$$展开左边：
$$(x+c{)}^2+y^2+(x-c{)}^2+y^2+2\sqrt{((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)}=4a^2$$

4. 凑平方差

我们先简化左边的前两项：
$$(x+c{)}^2+y^2+(x-c{)}^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2+x^2-2xc+c^2+y^2$$
$$=2x^2+2y^2+2c^2$$代入上面的方程得到：
$$2x^2+2y^2+2c^2+2\sqrt{((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)}=4a^2$$移项得到：
$$2\sqrt{((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)}=4a^2-2x^2-2y^2-2c^2$$
$$\sqrt{((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)}=2a^2-x^2-y^2-c^2$$

5. 消去根号

为了继续消去根号，我们再次平方两边：
$${\left(\sqrt{((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)}\right)}^2=(2a^2-x^2-y^2-c^2{)}^2$$展开左边：
$$((x+c{)}^2+y^2)((x-c{)}^2+y^2)=(2a^2-x^2-y^2-c^2{)}^2$$

6. 简化方程

左边的展开：
$$(x^2+2xc+c^2+y^2)(x^2-2xc+c^2+y^2)$$
$$=(x^2+y^2+c^2{)}^2-(2xc{)}^2$$
$$=(x^2+y^2+c^2{)}^2-4x^2{c}^2$$右边的展开：
$$(2a^2-x^2-y^2-c^2{)}^2$$
$$=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+(x^2+y^2+c^2{)}^2$$令左边和右边相等：
$$(x^2+y^2+c^2{)}^2-4x^2{c}^2=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)+(x^2+y^2+c^2{)}^2$$相消掉相同项后：
$$-4x^2{c}^2=4a^4-4a^2(x^2+y^2+c^2)$$
$$x^2{c}^2=a^2(x^2+y^2+c^2)-a^4$$由于 $$c^2=a^2-b^2$$，我们将其代入上式中：
$$x^2(a^2-b^2)=a^2(x^2+y^2+(a^2-b^2))-a^4$$
$$x^2{a}^2-x^2{b}^2=a^2{x}^2+a^2{y}^2+a^4-a^2{b}^2-a^4$$
$$x^2{a}^2-x^2{b}^2=a^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2$$整理后得到：
$$-x^2{b}^2=a^2{y}^2-a^2{b}^2$$
$$x^2{b}^2=a^2{b}^2-a^2{y}^2$$
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

最终的标准椭圆方程

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$