二叉树第一期：树与二叉树的概念

一、树   

1.树的定义

与线性表不同，树是一种非线性的数据结构，由N(N>=0)个结点组成的具有层次关系的集合；因其形状类似生活中一颗倒挂着的树，故将其数据结构称为树。

2.树的相关概念

根结点	没有前驱的结点，称为根结点
子树	以某个结点为根结点的所有后代结点(包括此结点)，为该结点的子树，例如B、E、F组成的树，是A的子树
结点的度	某个结点后继结点的个数，称为结点的度
叶(终端)结点	某个结点后继结点的个数为0，称为叶结点
分支(非终端)结点	某个结点后继结点的个数非0，称为分支结点
双亲(父)结点	某个结点的前驱结点，称为该结点的双亲结点
孩子(子)结点	某个结点的后继结点，称为该结点的孩子结点
兄弟结点	某两个结点的前驱结点相同，则称为兄弟结点
堂兄结点	某两个结点在同一个层次上，称为，堂兄结点
祖先	某个结点到根结点的一条路线上的结点，统称为该结点的祖先
子孙	某个结点的所有后代结点，统称为该结点的子孙
树的度	最大的结点的度，称为树的度
树的高度(深度)	根结点到叶结点，所经过结点的个数，最大的，称为树的高度，或深度
结点的层级	某结点与根结点连线，所含义的结点个数
森林	M(M>=2)个互不相交的树，称为森林

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总结：

• 一个树，其任意子树是互不相交的，否则就不叫树，而是图，这一树形结构，如B、C、D为根组成的树，不存在相交情况。
• 任意一个树都可以看成根和子树，子树又可以看成，根和子树，所以树这一结构，是由递归搭建的。

3.树的表示

对树这一结构，有明确的了解后，又有一个新的问题，我们该如何的去表示的树的结构呢？常见的有孩子表示法，双亲表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法；这里将介绍最好理解的孩子表示法，和优点明显的孩子兄弟表示法

i.孩子表示法

#define MAX 10 // 已知树的最大的深度typedef int TDatetype;typedef struct Tree
{TDatetype date;struct Tree* child[MAX];
}Tree;

ii.左孩子右兄弟表示法

typedef int TDatetype;typedef struct Tree
{TDatetype date;struct Tree* child;struct Tree* brother;
}Tree;

 4.树的实际应用

我们文件的存储方式就是以树这一结构存储，每一个盘即为一个树，所有盘则组成一个森林，下面则是Linux系统下，文件的存储结构。

二、二叉树

1.二叉树的定义

在树的定义基础上，树的度最大不超过2的(每个结点的度最大不超过2的)，即为二叉树。（注：二叉树有左孩子右孩子之分）

2.特殊的二叉树

i.满二叉树

满二叉树的定义：树的深度为h，每一层都达到含有结点的最大个数，即第x(0<x<=h)层，结点个数 = 2^(x-1)；

ii.完成二叉树

完全二叉树的定义：树的深度为h，前h-1层，结点个数达到最大值，第h层，从左到右有连续的结点。

3.二叉树的性质

• 第H层结点个数：2^(H-1)
• 高度为H的二叉树，所含有结点个数的最大值为2^H-1
• N个结点的满二叉树，其高度为以2为底，log(N+1)
• N个结点的完全二叉树，其高度为以2为底，log(N+X+1)，X为相同高度的满二叉树与完全二叉树的结点个数差的绝对值
• 终端结点的个数  = 度为2的结点个数 + 1

4.二叉树的表示

i.二叉树的顺序结构

二叉树的顺序结构：将一颗二叉树的数据，以层为顺序，依次存储在数组中（保留空结点的位置）。

typedef int BTDateType; // 重定义树的数据类型typedef struct BinaryTree
{BTDateType* date; // 动态顺序表int size; // 当前顺序表存储数据的个数int capacity; // 当前顺序表的容量大小
}BinaryTree;

为什么要这么设计呢？

因为我们通过数组下标，可以得出其父亲或者两个孩子的结点位置；

1. 某结点左孩子的下标 = 该结点的下标 * 2 + 1
2. 某结点右孩子的下标 = 该结点的下标 * 2 + 2
3. 某结点的父亲下标     = (该结点的下标 - 1) / 2

读者，若不相信，可以以上面示图为例子，代入数据，进行自我验证！！！

• 根据此特性，
• 首先：我们就可以理解了，为什么要留着空结点的位置，而不是直接把数据依次存入~
• 最后：可以得出结论适合于存储完全二叉树，而不适合存储普通二叉树，因为普通二叉树，会造成大量的空间浪费。

ii.二叉树的链式结构

二叉树的链式结构，声明如下：孩子不存在，则用NULL表示；

typedef int BTDatetype;typedef struct BinaryTree
{BTDatetype date; // 数据struct Tree* lift; // 左孩子struct Tree* right; // 右孩子
}BT;