7.3 向量的数量积与向量积

🙌作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

向量的数量积

1. 定义：

设向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为$\theta$，称
$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos$ $\theta$记作$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积（点积、内积）

2. 性质

(1)$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$=$|\overrightarrow{a}{|}^2$
(2）$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为两个非零向量，则有$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=0$⟺$$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

注：由于零向量的方向是任意的，所有规定零向量与任何向量都垂直.

3. 运算规律

(1)交换律：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
(2)结合律：$(\lambda \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}\cdot (\lambda \overrightarrow{b})$=$\lambda (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$
~~~~~~~~~~~~~~~~~                 $(\lambda \overrightarrow{a})\cdot (\mu \overrightarrow{b})$=$\lambda (\overrightarrow{a}\cdot (\lambda \overrightarrow{b}))$=$\lambda \mu (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$（其中$\lambda ，\mu$为实数）
(3)分配律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$

4. 坐标表示

• 设$\overrightarrow{a}$=$a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}$,$\overrightarrow{b}$=$b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k}$，则
  $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=$a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

• 两向量夹角公式
  当 $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为两个非零向量时，由于$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos$ $\theta$，从而
  $cos\theta$= $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

• 两向量垂直的充要条件
  $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$$⟺$$a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0$

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向量的向量积

1. 定义

设向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角为$\theta$，定义
向量$\overrightarrow{c}$：①方向：$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}$且符合右手规则
~~~~~~~~~~~~~              ②模：$|\overrightarrow{c}|$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin$ $\theta$
称$\overrightarrow{c}$为$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$为的向量积（叉积），记作$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$

2. 性质

(1)$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$
(2）$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为两个非零向量，则有$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$=0$⟺$$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$

3. 运算规律

(1)$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
(2)结合律：$(\lambda \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}\times (\lambda \overrightarrow{b})$=$\lambda (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$
(3)分配律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$

4. 坐标表示

• 设$\overrightarrow{a}$=$a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}$,$\overrightarrow{b}$=$b_x\overrightarrow{i}+b_y\overrightarrow{j}+b_z\overrightarrow{k}$，则
  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$=$(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\overrightarrow{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\overrightarrow{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\overrightarrow{k}$
• 两个向量积的行列式表示
  $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$=$(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\overrightarrow{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\overrightarrow{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\overrightarrow{k}$ = $$\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

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