MATLAB——将直接型转化为并联型和级联型

题目1(IIR)：
已知一个系统的传递函数为：
$H（z）=\frac{8-4z^{-1}+11z^{-2}-2z^{-3}}{1-1.25z^{-1}+0.75z^{-2}-0.125z^{-3}}$

将其由直接型转换为级联型、并联型。信号流图如下图所示。

我们先来认识MATLAB自带的两个函数。

residuez
residuez 函数用于计算有理多项式函数在复平面内的极点和残差。其输入参数为分子多项式的系数向量 b 和分母多项式的系数向量 a，输出参数包括极点向量 p、残差向量 r 和常数项 k。
tf2sos
tf2sos 函数则将有理分式函数的分子和分母多项式转换为一组二阶段的、单精度二进制浮点数实现的二阶IIR滤波器系数。tf2sos 的输入参数是分子多项式的系数向量 b 和分母多项式的系数向量 a，输出参数是用于实现滤波器的二阶段滤波器系数 sos 和全局增益 g。

在实际应用中，tf2sos 函数通常用于将高阶滤波器分解为多个二阶IIR滤波器级联的形式，以便更容易实现和分析。而 residuez 函数则常用于计算一些特殊类型的系统的响应，如倒数函数、正切函数等。

代码

b=[8,-4,11,-2];
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
[r,p,c]=residuez(b,a)
[sos,g]=tf2sos(b,a)

部分分式，并联型

$H（z）=\frac{-8-12i}{1-(0.5+0.5i)z^{-1}}+\frac{-8+12i}{1-(0.5-0.5i)z^{-1}}+\frac{8}{1-0.25z^{-1}}+16$

相乘，级联型

$H（z）=8\ast \frac{1-0.19z^{-1}}{1-0.25z^{-1}}\ast \frac{1-0.31z^{-1}+1.3161z^{-2}}{1-z^{-1}+0.5z^{-2}}$

题目2(FIR)：
横截型与级联型之间的转换
已知一个FIR系统的传递函数为
$H（z）=2+0.9z^{-1}+1.55z^{-2}+2.375z^{-3}$
将其从横截型转换为级联型。信号流图如下所示。

程序

b=[2,0.9,1.55,2.375];
a=[1];
[sos,g]=tf2sos(b,a)

运行结果：

$H（z）=2(1+0.95z^{-1})(1-0.5z^{-1}+1.25z^{-1})$