16、matlab求导、求偏导、求定积分、不定积分、数值积分和数值二重积分

0）前言

在MATLAB中，对函数进行不同形式的求导、求积分操作是非常常见的需求，在工程、科学等领域中经常会用到。以下是关于求导、求积分以及数值积分的简介：

1. 求导：在MATLAB中可以使用diff函数对函数进行求导操作。diff函数有多种用法，可以求一阶、高阶导数，也可以求偏导数。例如，求函数f(x)的一阶导数可以使用diff(f, x)，求函数f(x, y)对x的偏导数可以使用diff(f, x)。

2. 求定积分和不定积分：在MATLAB中可以使用int函数对函数进行定积分和不定积分的计算。int函数可以对输入的表达式进行积分计算。例如，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以使用int(f, a, b)，求函数f(x)的不定积分可以使用int(f, x)。

3. 数值积分：在MATLAB中，可以使用integral函数进行数值积分计算。integral函数可以对给定的函数进行数值积分计算，常用于无法通过解析方法得到积分的情况。例如，对函数f(x)在区间[a, b]上进行数值积分可以使用integral(@(x) f(x), a, b)。

4. 数值二重积分：在MATLAB中，可以使用integral2函数进行数值二重积分计算。integral2函数可以对给定的二元函数进行数值积分计算，常用于求解二维区域上的积分。例如，对二元函数f(x, y)在区域D上进行数值二重积分可以使用integral2(@(x, y) f(x, y), x_min, x_max, y_min, y_max)。

以上是对MATLAB中求导、求积分操作的简介，通过灵活使用这些函数，可以方便地进行各种类型的导数和积分计算。值得注意的是，在进行数值积分时，可以根据具体情况选择适合的数值积分方法，以获得更精确和高效的计算结果。

1、matlab求导，diff()函数

1）一阶导数

语法：diff(f(x)):求一阶导数 //diff(f(x),n):求n阶导数(n为具体正整数)

以函数（cos(x)+sin(x)-x^2）的一阶导数为例

一阶导数代码：

yms x;%声明符号变量x
f(x)=cos(x)+sin(x)-x^2;%定义原式子
dy=diff(f(x))%求一阶导数dy =cos(x) - 2*x - sin(x)

2）n阶倒数

以函数（cos(x)+sin(x)-x^2）二三阶倒数为例

二三阶导数代码：

syms x;%声明符号变量x
f(x)=cos(x)+sin(x)-x^2;%定义原式子
dy1=diff(f(x),2)
% pretty(dy1)
dy2=diff(f(x),3)dy1 =- cos(x) - sin(x) - 2dy2 =sin(x) - cos(x)

2、matlab求偏导，diff()函数

语法：diff(f(x)):求一阶导数 //diff(f(x),n):求n阶导数(n为具体正整数)

以函数（f(x1,x2)=sin(x1)+exp(x2)）求解x1和x2偏倒为例

1）一阶偏导

x1求偏导代码：

syms x1 x2;%声明符号变量x1\x2
f(x1,x2)=sin(x1)+exp(x2);%定义原函数
%求一阶偏导
dy1=diff(f(x1,x2),x1)dy1 =cos(x1)

x2求偏导代码：

syms x1 x2;%声明符号变量x1\x2
f(x1,x2)=sin(x1)+exp(x2);%定义原函数
dy2=diff(f(x1,x2),x2)dy2 =exp(x2)

2）n阶偏导

x1二阶偏导代码：

syms x1 x2;%声明符号变量x1\x2
f(x1,x2)=sin(x1)+exp(x2);%定义原函数
dy3=diff(f(x1,x2),x1,2)dy3 =-sin(x1)

 x2三阶偏导代码：

syms x1 x2;%声明符号变量x1\x2
f(x1,x2)=sin(x1)+exp(x2);%定义原函数
dy4=diff(f(x1,x2),x2,3)dy4 =exp(x2)

3、matlab求积分，int()函数

1）不定积分求解

语法：牛顿——莱布尼兹公式求解积分

代码：

syms x;%声明变量x
y1=x^2;%定义原式
fy1=int(y1,x)%不定积分fy1 =x^3/3

2）定积分求解 

代码：

syms x;%声明变量x
y1=x^2;%定义原式
% fy1=int(y1,x)%不定积分
fy2=int(y1,x,0,1)%定积分fy2 =1/3syms x;%声明变量x
y1=x^2;%定义原式
% fy1=int(y1,x)%不定积分
% fy2=int(y1,x,0,1)%定积分
fy3=int(y1,x,-inf,+inf)fy3 =Inf

 4、数值积分

1）梯形法计算积分 trapz()函数

语法：I=trapz(x,y) %适用于被积函数为离散数据

代码：

format long%显示格式设置
fy=@(x)sin(x)./x%@句柄的用法
x1=pi/6:pi/100:pi;
y1=fy(x1);
%绘图
bar(y1)
%定积分
s1=trapz(x1,y1)fy =包含以下值的 function_handle:@(x)sin(x)./xs1 =1.336217975152237

视图效果：

 2)基于变步长辛普森计算积分

语法：[I,n]=quad(‘fname’,a,b,Tol,trace)%I积分值/n积分函数调用次数

参数介绍fname：被积函数名 a,b积分界限 TOL精度 trace是否展现积分过程

基于变步长辛普森计算积分与梯形法计算积分对比代码：

fy=@(x)sin(x)./x%被积函数
s=quad(fy,pi/6,pi,0.00001,1)%变步长辛普森计算积分
x1=pi/6:pi/100:pi;
y1=fy(x1);
s1=trapz(x1,y1)%梯形法计算积分fy =包含以下值的 function_handle:@(x)sin(x)./x9     0.5235987756     7.10994777e-01     0.619018804711     1.2345935530     1.19600432e+00     0.626190692913     2.4305978762     7.10994777e-01     0.0910383671s =1.336247864730292s1 =1.336217975152237

 5、数值二重积分 dblquad()函数

语法：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,method)，求f(x,y)在[a,b]、[c,d]区域上的二重积分

TOL精度 Method：计算一维积分(quad/quadl) 

代码：

 f=@(x,y)exp(x.^2).*sin(x.^2+y.^2)I1=dblquad(f,-2,2,-1,1)I2=dblquad(f,-2,2,-1,1,1e-9,'quadl')I3=dblquad(f,-2,2,-1,1,1e-9,'quad')%默认f =包含以下值的 function_handle:@(x,y)exp(x.^2).*sin(x.^2+y.^2)I1 =-9.400793312509709I2 =-9.400792842118586I3 =-9.400792842296315

 6、数值积分 integral()函数

语法：q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

代码：

fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;
q = integral(fun,0,Inf)
q1 = integral(fun,0,Inf,'RelTol',1e-9)q =1.947522220295560q1 =1.947522180314255

 7、二重积分 integral2()函数

语法：q = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,Name,Value)

代码：

fun = @(x,y) 1./( sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 );
q1= integral2(fun,0,1,0,1)
q2= integral2(fun,0,1,0,1,'RelTol',1e-9)q1 =0.369530192486637q2 =0.369530180500556

8、总结 

在MATLAB中，求导、求偏导、求定积分、不定积分、数值积分和数值二重积分是信号处理、数学建模等领域中常用的操作。以下是对这些操作的总结：

1. 求导：

   • 一阶导数：使用diff函数。
   • 多阶导数：连续多次使用diff函数。
   • 求偏导数：指定对哪个变量求偏导数。

2. 求定积分和不定积分：

   • 定积分：使用int函数，指定积分上下限。
   • 不定积分：使用int函数，只指定被积分的变量。

3. 数值积分：

   • 一维数值积分：使用integral函数，指定被积函数和积分区间。
   • 二维数值积分：使用integral2函数，指定被积函数和积分区域。

4. 注意事项：

   • 在使用数值积分函数时，可以指定积分精度和其他参数，以获得更精确的结果。
   • 对于复杂函数或区域，可以使用数值积分来近似求解积分值。
   • 在处理数值积分结果时，要注意结果的有效性和精度，可以使用MATLAB的调试工具进行验证。

综上所述，MATLAB提供了丰富的函数和工具，可以方便地进行导数、积分和数值积分等操作。这些操作在数学建模、信号处理、科学计算等领域中具有重要的应用意义，能够帮助用户进行数据分析、模拟和预测等工作。在实际应用中，根据具体需求选择合适的函数和方法，以实现准确、高效的数据处理和计算。