第十四届蓝桥杯省赛C++B组E题【接龙数列】题解（AC）

需求分析

题目要求最少删掉多少个数后，使得数列变为接龙数列。

相当于题目要求求出数组中的最长接龙子序列。

题目分析

对于一个数能不能放到接龙数列中，只关系到这个数的第一位和最后一位，所以我们可以先对数组进行预处理，将所有的数变为两位数，例如 $12345\to 15$，$6\to 66$，$\dots$，这样当我们需要取出一个数 $x$ 的第一位时，只需要计算 $x/10$，取出最后一位时，只需要计算 $x\%10$。

那么接下来考虑如何求接龙序列的最大值。

考虑动态规划，$f(i,j)$ 表示在前 $i$ 个数中，以 $j$ 结尾的最大长度。

考虑状态转移，设第 $i$ 个数为 $ab$：

• 若不选第 $i$ 个数，则有 $f(i,j)=f(i-1,j)$（$0\le j\le 9$）。
• 若选第 $i$ 个数，则 $f(i,b)=\max (f(i-1,b),f(i-1,a)+1)$

那么接龙数列的最大长度为 max ⁡ ( { f ( n , i ) \max(\{f(n, i) max({f(n,i)（$0\le i\le 9$）$\})$。

观察状态转移发现，$f(i,j)$ 仅由 $f(i-1,x)$ 计算得出，故可以使用滚动数组进行优化。

时间复杂度 $O(n)$。

• C++

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int q[N];
int f[N][10];int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++ i ){int x;cin >> x;int y = x % 10;while (x >= 10)x /= 10;q[i] = x * 10 + y;}for (int i = 1; i <= n; ++ i ){for (int j = 0; j < 10; ++ j )f[i][j] = f[i - 1][j];int a = q[i] / 10, b = q[i] % 10;f[i][b] = max(f[i][b], f[i - 1][a] + 1);}int res = 0;for (int i = 0; i < 10; ++ i )res = max(res, f[n][i]);cout << n - res << endl;return 0;
}

• C++（空间优化）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int q[N];
int f[N];int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++ i ){int x;cin >> x;int y = x % 10;while (x >= 10)x /= 10;q[i] = x * 10 + y;}for (int i = 0; i < n; ++ i ){int a = q[i] / 10, b = q[i] % 10;f[b] = max(f[b], f[a] + 1);}cout << n - *max_element(f, f + 10) << endl;return 0;
}

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