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sin x和cos x的导数

news 2026/2/8 21:25:05

我们都知道 $(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x$ ， $(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x$ ，但是为什么呢？

$sin⁡x\sin x$ 的导数

$(sin⁡x)′=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx(\sin x)'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$

根据三角函数公式中的和差公式可得

原式 $=lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx+sin⁡Δxcos⁡x−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡x(cos⁡Δx−1)Δx+lim⁡Δx→0sin⁡Δxcos⁡xΔx=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x\cos\Delta x+\sin \Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \Delta x\cos x}{\Delta x}$

由无穷小替换可得，当 $x→0x\rightarrow 0$ 时， $1−cos⁡x∼12x21-\cos x\sim\dfrac12 x^2$ ， $sin⁡x∼x\sin x\sim x$

所以原式 $=−lim⁡Δx→0sin⁡x×12Δx+lim⁡Δx→0cos⁡x=−0+cos⁡x=cos⁡x=-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\sin x\times \dfrac 12\Delta x+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cos x=-0+\cos x=\cos x$

$cos⁡x\cos x$ 的导数

与 $sin⁡x\sin x$ 的导数类似，证明如下。

$cos⁡x=lim⁡Δx→0cos⁡(x+Δx)−cos⁡xΔx\cos x=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}$

$=lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx−cos⁡xΔx\quad\quad \ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}$

$=lim⁡Δx→0cos⁡x(cos⁡Δx−1)Δx−lim⁡Δx→0sin⁡xsin⁡ΔxΔx\quad\quad \ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x}$

$=−lim⁡Δx→012cos⁡xΔx−lim⁡Δx→0sin⁡x\quad\quad \ =-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac 12\cos x\Delta x-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\sin x$

$=−0−sin⁡x\quad\quad \ =-0-\sin x$

$=−sin⁡x\quad\quad \ =-\sin x$

所以 $(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)'=\sin x$

sin x和cos x的导数

$sin⁡x\sin x$ 的导数

$cos⁡x\cos x$ 的导数

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