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sin x和cos x的导数

我们都知道(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x(sinx)=cosx(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(cosx)=sinx,但是为什么呢?

sin⁡x\sin xsinx的导数

(sin⁡x)′=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx(\sin x)'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}(sinx)=Δx0limΔxsin(x+Δx)sinx

根据三角函数公式中的和差公式可得

原式=lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx+sin⁡Δxcos⁡x−sin⁡xΔx=lim⁡Δx→0sin⁡x(cos⁡Δx−1)Δx+lim⁡Δx→0sin⁡Δxcos⁡xΔx=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x\cos\Delta x+\sin \Delta x\cos x-\sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \Delta x\cos x}{\Delta x}=Δx0limΔxsinxcosΔx+sinΔxcosxsinx=Δx0limΔxsinx(cosΔx1)+Δx0limΔxsinΔxcosx

由无穷小替换可得,当x→0x\rightarrow 0x0时,1−cos⁡x∼12x21-\cos x\sim\dfrac12 x^21cosx21x2sin⁡x∼x\sin x\sim xsinxx

所以原式=−lim⁡Δx→0sin⁡x×12Δx+lim⁡Δx→0cos⁡x=−0+cos⁡x=cos⁡x=-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\sin x\times \dfrac 12\Delta x+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cos x=-0+\cos x=\cos x=Δx0limsinx×21Δx+Δx0limcosx=0+cosx=cosx


cos⁡x\cos xcosx的导数

sin⁡x\sin xsinx的导数类似,证明如下。

cos⁡x=lim⁡Δx→0cos⁡(x+Δx)−cos⁡xΔx\cos x=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}cosx=Δx0limΔxcos(x+Δx)cosx

=lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx−cos⁡xΔx\quad\quad \ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x} =Δx0limΔxcosxcosΔxsinxsinΔxcosx

=lim⁡Δx→0cos⁡x(cos⁡Δx−1)Δx−lim⁡Δx→0sin⁡xsin⁡ΔxΔx\quad\quad \ =\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x} =Δx0limΔxcosx(cosΔx1)Δx0limΔxsinxsinΔx

=−lim⁡Δx→012cos⁡xΔx−lim⁡Δx→0sin⁡x\quad\quad \ =-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac 12\cos x\Delta x-\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\sin x =Δx0lim21cosxΔxΔx0limsinx

=−0−sin⁡x\quad\quad \ =-0-\sin x =0sinx

=−sin⁡x\quad\quad \ =-\sin x =sinx

所以(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)'=\sin x(cosx)=sinx

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