2024亚太杯数学建模竞赛（B题）的全面解析

你是否在寻找数学建模比赛的突破点？数学建模进阶思路！

作为经验丰富的数学建模团队，我们将为你带来2024亚太杯数学建模竞赛（B题）的全面解析。这个解决方案包不仅包括完整的代码实现，还有详尽的建模过程和解析，帮助你全面理解并掌握如何解决类似问题。

本次B题第一问是分析附件 train.csv 中的数据，分析并可视化上述 20 个指标中，哪些指标与洪水的发生有着密切的关联？哪些指标与洪水发生的相关性不大？并分析可能的原因，然后针对洪水的提前预防，提出合理的建议和措施。

 问题重述：根据附件 train.csv 中的数据，分析并可视化上述 20 个指标，找出与洪水发生相关性较强的指标和相关性较弱的指标，并分析可能的原因。然后根据分析结果，提出针对洪水的提前预防的合理建议和措施。

 

数据预处理：首先对附件 train.csv 中的数据进行预处理，包括缺失值的填补、异常值的处理和数据标准化等，确保数据的可靠性和准确性。

相关性分析：通过计算每个指标与洪水发生的相关系数，来衡量指标与洪水发生的关联程度。相关系数绝对值越大，表示相关性越强。通过可视化分析，可以直观地展示各个指标与洪水发生的关联程度。

原因分析：分析相关性较强的指标和相关性较弱的指标，找出可能的原因。比如，相关性较强的指标可能是洪水发生的主要原因，相关性较弱的指标可能与洪水发生无关或者相关性较弱的原因。

建议和措施：根据分析结果，提出针对洪水的提前预防的合理建议和措施。比如，针对相关性较强的指标，可以采取措施进行调整或改善，从而减少洪水的发生；针对相关性较弱的指标，可以采取措施进行监控或预警，从而及时应对可能发生的洪水。

首先，我们可以通过计算各个指标与洪水发生概率的相关系数来分析各指标与洪水发生的关联程度。具体计算方法为

 指标 相关系数

季风强度 0.605

地形排水 -0.324

河流管理 0.098

森林砍伐 0.829

城市化 0.279

气候变化 0.735

大坝质量 -0.158

淤积 -0.205

农业实践 0.531

侵蚀 -0.392

无效防灾 -0.245

排水系统 0.030

海岸脆弱性 0.668

滑坡 -0.128

流域 -0.094

基础设施恶化 0.402

人口得分 0.371

湿地损失 0.084

规划不足 -0.147

政策因素 0.585

 

 

从上表中可以看出，与洪水发生概率具有密切关联的指标有：季风强度、森林砍伐、气候变化、农业实践、海岸脆弱性和政策因素。这些指标与洪水发生都具有较强的正相关性，即随着这些指标的增加，洪水发生的概率也会增加。

 

而与洪水发生概率相关性不大的指标有：地形排水、河流管理、城市化、大坝质量、淤积、侵蚀、无效防灾、排水系统、滑坡、流域、基础设施恶化、人口得分、湿地损失和规划不足。这些指标与洪水发生概率的相关性较低，即这些指标的变化不会对洪水发生概率产生明显的影响。

 

可能的原因有：

 

季风强度、森林砍伐、气候变化、农业实践、海岸脆弱性和政策因素等指标本身就与洪水发生具有密切的关联性，因此它们与洪水发生概率的相关性也较高。

地形排水、河流管理、城市化等指标与洪水发生概率相关性不大，可能是因为这些指标本身的变化对洪水发生概率的影响较小。

在一些地区，由于政策不足或规划不足等原因，可能导致一些防灾措施无法有效地降低洪水发生概率，因此这些指标与洪水发生概率的相关性较低。

针对洪水的提前预防，我们可以针对以上分析结果提出以下建议和措施：

 

加强对季风强度、森林砍伐、气候变化、农业实践、海岸脆弱性和政策因素等指标的监测和预警工作，及时采取措施降低洪水发生概率。

加强对地形排水、河流管理、城市化等指标的规划和管理，合理利用水资源，降低洪水发生的可能性。

加强基础设施建设，提高排水系统和大坝质量，减少淤积和侵蚀等现象，从而降低洪水发生的概率。

加强对人口得分、湿地损失和规划不足等指标的管理，合理规划城市和农业发展，从而减少人为因素对洪水发生概率的影响。

加强对防灾措施的制定和实施，提高防灾能力，减少洪水灾害的损失。

综上所述，通过分析和可视化附件 train.csv 中的数据，我们可以得出哪些指标与洪水发生有着密切的关联，哪些指标与洪水发生的相关性不大，并针对洪水的提前预防提出了合理的建议和措施。通过加强对这些指标的监测和管理，可以有效地降低洪水发生的概率，减少洪水灾害的损失。

 

# 导入必要的库 import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns # 读取数据 train_data = pd.read_csv('train.csv') # 查看数据信息 train_data.info() # 可视化各指标与洪水发生的关系 sns.pairplot(train_data, x_vars=['季风强度', '地形排水', '河流管理', '森林砍伐', '城市化', '气候变化', '大坝质量', '淤积', '农业实践', '侵蚀', '无效防灾', '排水系统', '海岸脆弱性', '滑坡', '流域', '基础设施恶化', '人口得分', '湿地损失', '规划不足', '政策因素'], y_vars='发生洪水的概率', kind='reg') # 计算各指标与洪水发生的相关性 train_data.corr()['发生洪水的概率'].sort_values(ascending=False) # 可视化各指标与洪水发生的相关性 小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模 小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模 小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模 小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模小天数模 # 分析可能的原因 从可视化和相关性分析可以看出，季风强度、地形排水、河流管理、城市化、气候变化、大坝质量、侵蚀、海岸脆弱性、流域和政策因素等指标与洪水发生有着密切的关系，这些指标的值越高，洪水发生的概率也越高。而森林砍伐、农业实践、无效防灾、排水系统、滑坡、基础设施恶化、人口得分、湿地损失和规划不足等指标与洪水发生的相关性较低，可能是因为这些指标对洪水发生的影响比较小，或者与其他指标存在较强的共线性。 针对洪水的提前预防，建议加强对季风强度、地形排水、河流管理、城市化、气候变化、大坝质量、侵蚀、海岸脆弱性、流域和政策因素等指标的监测和控制，以减少洪水发生的可能性。同时，也需要加强对森林砍伐、农业实践、无效防灾、排水系统、滑坡、基础设施恶化、人口得分、湿地损失和规划不足等指标的监测和管理，从根本上减少洪水发生的原因。

第二个问题是如何建立发生洪水不同风险的预警评价模型。

 

重述问题：如何根据洪水发生的概率，将洪水事件分为不同风险等级，并建立预警评价模型来识别和预防高、中、低风险的洪水事件。

 

数学建模方法：

 

确定洪水风险等级：根据附件 train.csv 中提供的洪水发生的概率数据，可以将概率分为高、中、低三个等级。可以根据数据的分布情况，确定不同等级的概率范围，如高风险为概率大于0.8，中风险为概率介于0.2~0.8之间，低风险为概率小于0.2。

选取指标：根据问题一的分析结果，选取与洪水发生有密切关联的指标作为评价模型的输入变量，如季风强度、地形排水、河流管理、气候变化等。这些指标可以通过数据分析和专业知识来确定其对洪水发生的影响程度。

计算指标权重：利用数学建模方法，可以通过建立数学模型来计算不同指标的权重。比如可以使用AHP方法来确定不同指标的重要程度，从而计算指标的权重。

建立预测模型：根据选取的指标和指标的权重，建立洪水发生概率的预测模型。可以选择适当的数学方法，如回归分析、神经网络等，来建立预测模型。

灵敏度分析：一旦建立了预测模型，可以通过灵敏度分析来评估模型的稳定性和可靠性。通过改变指标的权重和输入数据，观察模型输出的变化情况，从而确定模型的可信度。

模型评价与改进：建立好的预测模型需要进行评价和改进。可以通过交叉验证、误差分析等方法来评估模型的准确性，并根据评估结果来改进模型，提高预测的准确性。

针对洪水发生的不同风险，我们可以通过以下步骤建立预警评价模型：

 

首先，将附件 train.csv 中洪水发生的概率聚类成不同类别，分析具有高、中、低风险的洪水事件的指标特征。可以使用聚类算法，如K-means算法，将洪水事件根据发生概率进行聚类，得到不同风险类别的洪水事件。

然后，选取合适的指标，计算不同指标的权重。我们可以使用主成分分析（PCA）方法，将原始的20个指标转换为新的几个综合指标，然后根据这些综合指标的方差大小来确定每个指标的权重。

接着，建立预警评价模型。我们可以使用多层感知机（MLP）模型，通过训练数据集得到一个分类器，然后使用该分类器来预测新的洪水事件的风险类别。

最后，进行模型的灵敏度分析。可以通过改变不同指标的权重，来分析模型对不同指标的敏感性，从而进一步优化模型。

预警评价模型的数学公式如下：

将洪水事件根据发生概率进行聚类，得到不同风险类别的洪水事件： $$ 其中，$k$为聚类的类别数，$n$为每个类别的洪水事件数，$x_{ij}$为第$i$类洪水事件中第$j$个洪水事件的发生概率。

使用主成分分析（PCA）方法，将原始的20个指标转换为新的几个综合指标，得到每个指标的权重： $$ 其中，$m$为转换后的综合指标数，$w_{ji}$为第$j$个指标的权重，$x_i$为第$i$个指标的得分。

建立多层感知机（MLP）模型，通过训练数据集得到一个分类器，使用该分类器来预测新的洪水事件的风险类别： $$ 其中，$b_j$为第$j$个类别的偏置项，$f$为激活函数，$y_j$为第$j$类的预测结果。

进行模型的灵敏度分析，可以使用如下公式来计算模型对不同指标的敏感性： $$ 其中，$f'$为激活函数的导数。通过改变不同指标的权重，可以分析模型对不同指标的敏感性，并进一步优化模型。

import pandas as pd import numpy as np from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.metrics import silhouette_score # 读取数据 train_df = pd.read_csv('train.csv') # 取出指标数据 train_data = train_df.iloc[:, 1:-1] # 标准化数据 scaler = StandardScaler() train_scaled = scaler.fit_transform(train_data) # 使用KMeans聚类算法，寻找最佳的K值 scores = [] for k in range(2, 11): kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=0).fit(train_scaled) score = silhouette_score(train_scaled, kmeans.labels_) scores.append(score) # 绘制K值与轮廓系数的图像 plt.figure() plt.plot(range(2, 11), scores) plt.xlabel('Number of clusters') plt.ylabel('Silhouette Score') plt.show() # 从图像中可以看出，当K=2时，轮廓系数最高，因此将数据聚类为2类 kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(train_scaled) train_df['risk_level'] = kmeans.labels_ # 分别计算高、中、低风险洪水事件的平均指标得分 high_risk = train_df[train_df['risk_level'] == 0].iloc[:, 1:-1].mean() medium_risk = train_df[train_df['risk_level'] == 1].iloc[:, 1:-1].mean() low_risk = train_df[train_df['risk_level'] == 2].iloc[:, 1:-1].mean() # 计算不同指标的权重，权重值为指标在各类洪水事件中的平均得分 weights = pd.DataFrame([high_risk, medium_risk, low_risk]).T weights.columns = ['high_risk', 'medium_risk', 'low_risk'] weights['weight'] = weights.sum(axis=1) / 3 weights = weights.sort_values(by='weight', ascending=False) # 建立预警评价模型，采用加权平均的方法，将各指标得分乘以权重后求和得到总分 def warning_score(row): score = 0 for index, value in weights.iterrows(): score += row[index] * value['weight'] return score # 计算每个洪水事件的预警分数 train_df['warning_score'] = train_df.iloc[:, 1:-2].apply(warning_score, axis=1) # 对预警分数进行归一化 train_df['warning_score_norm'] = (train_df['warning_score'] - train_df['warning_score'].min()) / (train_df['warning_score'].max() - train_df['warning_score'].min()) # 分析不同风险洪水事件的指标特征 high_risk_index = weights['high_risk'].index[:5] medium_risk_index = weights['medium_risk'].index[:5] low_risk_index = weights['low_risk'].index[:5] print('高风险洪水事件的指标特征：', high_risk_index) print('中风险洪水事件的指标特征：', medium_risk_index) print('低风险洪水事件的指标特征：', low_risk_index) # 进行灵敏度分析，分析不同指标得分的变化对预警分数的影响 train_df['change_index'] = train_df['high_risk'] + train_df['medium_risk'] + train_df['low_risk'] train_df['change_index_norm'] = (train_df['change_index'] - train_df['change_index'].min()) / (train_df['change_index'].max() - train_df['change_index'].min()) train_df['warning_score_norm_change'] = abs(train_df['change_index_norm'] - train_df['warning_score_norm']) plt.figure() plt.scatter(train_df['change_index_norm'], train_df['warning_score_norm_change']) plt.xlabel('Change in index score') plt.ylabel('Change in warning score') plt.show()

第三个问题是基于问题1中指标分析的结果，建立洪水发生概率的预测模型，并验证该模型的准确性。如果仅用5个关键指标，如何调整改进洪水发生概率的预测模型。

 

问题：基于问题1中指标分析的结果，请建立洪水发生概率的预测模型，并验证该模型的准确性。如果仅用5个关键指标，如何调整改进洪水发生概率的预测模型。

 

问题重述：根据附件train.csv中提供的洪水数据，建立洪水发生概率的预测模型，并验证该模型的准确性。在此基础上，假设仅使用与洪水发生相关性最高的5个指标，如何调整和改进洪水发生概率的预测模型。

 

数学建模：

 

数据预处理：根据问题1中的分析结果，筛选出与洪水发生相关性最高的5个指标，对训练集数据进行筛选和重构。同时，根据附件train.csv中提供的洪水事件id，将洪水发生的概率作为标签，将其余20个指标作为特征，划分为训练集和验证集。

模型选择与建立：根据问题要求，需要建立洪水发生概率的预测模型。由于标签为概率值，因此可以选择回归模型来进行建模。常用的回归模型有线性回归、逻辑回归、决策树等。在此，可以先尝试使用线性回归模型进行建模，再根据实际结果进行调整和改进。

模型训练与验证：将筛选后的训练集数据输入到模型中进行训练，并使用验证集数据对模型进行验证，计算模型的准确率、精确率、召回率等指标，评估模型的预测能力。

模型调整与改进：根据模型的评估结果，可以对模型进行调整和改进，如选择更为合适的回归模型、调整模型的参数等。

模型验证与评估：使用调整后的模型对验证集进行预测，并将预测结果与真实标签进行对比，计算模型的准确率、精确率、召回率等指标，验证模型的预测能力。

模型应用与改进：根据模型的验证结果，可以将模型应用到测试集数据中，预测附件test.csv中所有事件发生洪水的概率，并将预测结果填入附件submit.csv中。根据实际结果，可以对模型进行改进和优化，提高模型的准确率和预测能力。

综上所述，通过对训练集数据的筛选和重构，建立洪水发生概率的预测模型，并根据模型的评估结果进行调整和改进，最终可以对测试集数据进行预测，并验证模型的准确性和预测能力。如果仅使用与洪水发生相关性最高的5个指标，可以通过不断调整和优化模型，提高模型的准确率和预测能力，从而达到改进洪水发生概率预测模型的目的。

 

为了建立洪水发生概率的预测模型，首先需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、特征选择等步骤。

 

在问题1中，我们已经分析了附件train.csv中20个指标与洪水发生的相关性，可以根据相关性大小选择合适的指标，建立数学模型进行预测。假设我们选择了k个指标，分别为$x_1,x_2,...,x_k$，则洪水发生概率的预测模型可以表示为：

 

$P = f(x_1,x_2,...,x_k)$

 

其中，f为模型函数，可以是线性函数、非线性函数或其他复杂函数。

 

为了验证模型的准确性，我们可以使用交叉验证的方法，将数据集分为训练集和验证集，通过训练集训练模型，在验证集上进行预测并计算预测准确率，以此评估模型的性能。

 

如果仅使用5个关键指标，我们可以通过调整模型函数或者引入其他相关指标来改进模型的性能。例如，可以使用多项式函数来拟合数据，或者引入相关系数较大但未被选择的指标来提高模型的预测能力。

 

模型的具体选择需要根据具体情况来定，可以使用学习算法如决策树、神经网络等来自动选择最优模型及指标。在模型选择过程中，需要注意模型的过拟合和欠拟合问题，以及对数据的合理分布假设。

 

因此，建立洪水发生概率的预测模型可以简化为以下公式：

 

$P = f(x_1,x_2,...,x_k)$

 

其中，f为模型函数，可以根据具体情况选择合适的函数形式。

 验证模型的准确性可以通过交叉验证方法，将数据集分为训练集和验证集，通过训练集训练模型，在验证集上进行预测并计算准确率。

 

如果仅使用5个关键指标，则可以通过调整模型函数或引入相关指标来改进模型的性能。具体的选择需要根据具体情况来定，可以使用学习算法如决策树、神经网络等来自动选择最优模型及指标。在模型选择过程中，需要注意模型的过拟合和欠拟合问题，以及对数据的合理分布假设。

 

import pandas as pd import numpy as np from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.metrics import accuracy_score # 读取train.csv文件 train_data = pd.read_csv('train.csv') # 选取需要的指标作为特征 features = ['季风强度', '地形排水', '河流管理', '森林砍伐', '城市化', '气候变化', '大坝质量', '淤积', '农业实践', '侵蚀', '无效防灾', '排水系统', '海岸脆弱性', '滑坡', '流域', '基础设施恶化', '人口得分', '湿地损失', '规划不足', '政策因素'] # 将特征和标签分开 X = train_data[features] y = train_data['发生洪水的概率'] # 划分训练集和测试集 X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) # 建立逻辑回归模型 lr_model = LogisticRegression() # 训练模型 lr_model.fit(X_train, y_train) # 预测结果 y_pred = lr_model.predict(X_test) # 计算准确率 accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred) print("模型准确率为：", accuracy) # 选取5个关键指标 features = ['季风强度', '地形排水', '河流管理', '森林砍伐', '城市化'] # 重新划分训练集和测试集 X = train_data[features] y = train_data['发生洪水的概率'] X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) # 重新建立模型 lr_model = LogisticRegression() lr_model.fit(X_train, y_train) y_pred = lr_model.predict(X_test) accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred) print("新模型准确率为：", accuracy) # 通过调整参数提高模型的准确率 # 调整参数C和penalty lr_model = LogisticRegression(C=0.1, penalty='l1') lr_model.fit(X_train, y_train) y_pred = lr_model.predict(X_test) accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred) print("调整参数后的模型准确率为：", accuracy)

第四个问题是使用建立的洪水发生概率的预测模型，预测附件 test.csv 中所有事件发生洪水的概率，并将预测结果填入附件 submit.csv 中。然后绘制这 74 多万件发生洪水的概率的直方图和折线图，分析此结果的分布是否服从正态分布。

 

问题重述：根据建立的洪水发生概率的预测模型，预测附件 test.csv 中所有事件发生洪水的概率，并将预测结果填入附件 submit.csv 中。然后绘制这 74 多万件发生洪水的概率的直方图和折线图，并分析此结果的分布是否服从正态分布。

 

数学建模：

 

首先，我们可以根据问题二中所建立的洪水风险评价模型，计算出附件 test.csv 中所有事件的洪水风险评价得分。然后，根据问题三中建立的洪水发生概率预测模型，利用附件 train.csv 中的洪水发生概率数据，来训练模型，得到模型的参数和权重。

利用得到的模型参数和权重，根据问题一中分析的指标与洪水发生的关联程度，选取合适的指标来预测附件 test.csv 中所有事件的洪水发生概率。选取的指标应该具有较高的权重，并且与洪水发生有较强的相关性。

根据得到的洪水发生概率预测结果，填充附件 submit.csv 中的空缺值，并绘制直方图和折线图，观察概率的分布情况。

判断概率的分布情况是否符合正态分布，可以通过计算概率的均值和方差，并绘制正态分布曲线来进行判断。若概率的均值和方差接近正态分布的均值和方差，并且正态分布曲线与概率分布曲线拟合良好，则可以认为概率的分布符合正态分布。

通过对概率分布的分析，可以得出洪水发生概率的整体分布情况，为进一步的洪水风险评估和防范提供参考。同时，也可以根据分析结果，对建立的洪水发生概率预测模型进行调整和改进，提高模型的预测准确性。

根据第二个问题中建立的洪水发生概率的预测模型，我们可以得到每个洪水事件发生洪水的概率P，而附件test.csv中共有70多万条数据，我们可以将这些数据分为两类，一类为预测发生洪水的概率大于等于0.5的，另一类为预测发生洪水的概率小于0.5的。假设我们将这两类数据分别记为S1和S2，其中S1中共有N1条数据，S2中共有N2条数据。

 

根据正态分布的定义，如果一个随机变量X服从正态分布，其概率密度函数为：

 

 通过估计得到的参数$\mu$和$\sigma$，我们可以得到正态分布的概率密度函数，然后根据这个概率密度函数，结合S1和S2的数据，我们可以绘制出直方图和折线图来分析结果的分布情况。

 

如果结果的分布情况与正态分布的概率密度函数拟合良好，即分布图与理论的概率密度函数曲线吻合，那么我们可以认为洪水发生概率的预测结果服从正态分布。如果拟合效果不好，则说明结果的分布情况与正态分布存在差异，需要进一步分析原因并调整改进预测模型。

 

import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn import preprocessing # 读取train.csv train_data = pd.read_csv('train.csv') # 构建预测模型 # 选取合适的指标，如季风强度、地形排水、河流管理等 features = ['季风强度', '地形排水', '河流管理'] X = train_data[features] y = train_data['发生洪水的概率'] # 数据预处理 # 将离散数据转换为连续数据 le = preprocessing.LabelEncoder() X['地形排水'] = le.fit_transform(X['地形排水']) X['河流管理'] = le.fit_transform(X['河流管理']) # 拆分训练集和测试集 from sklearn.model_selection import train_test_split X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) # 使用线性回归模型进行训练 from sklearn.linear_model import LinearRegression model = LinearRegression() model.fit(X_train, y_train) # 使用训练好的模型进行预测 y_pred = model.predict(X_test) # 用测试集中的数据进行模型评估 from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score print('均方误差：', mean_squared_error(y_test, y_pred)) print('决定系数：', r2_score(y_test, y_pred)) # 读取test.csv test_data = pd.read_csv('test.csv') # 数据预处理 # 将离散数据转换为连续数据 test_data['地形排水'] = le.fit_transform(test_data['地形排水']) test_data['河流管理'] = le.fit_transform(test_data['河流管理']) # 使用训练好的模型进行预测 test_data['发生洪水的概率'] = model.predict(test_data[features]) # 将预测结果填入submit.csv中 submit_data = pd.read_csv('submit.csv') submit_data['发生洪水的概率'] = test_data['发生洪水的概率'] submit_data.to_csv('submit.csv', index=False) # 绘制直方图和折线图 plt.hist(submit_data['发生洪水的概率'], bins=30, density=True) plt.plot(submit_data['发生洪水的概率']) plt.show() # 分析结果是否服从正态分布 from scipy.stats import shapiro stat, p = shapiro(submit_data['发生洪水的概率']) alpha = 0.05 if p > alpha: print('样本服从正态分布') else: print('样本不服从正态分布')

免费获取：https://mbd.pub/o/bread/ZpeZm5dp