【机器学习】支持向量机与主成分分析在机器学习中的应用

支持向量机 (SVM) 是一种功能强大且用途广泛的机器学习模型，适用于线性和非线性分类、回归以及异常值检测。本文将介绍支持向量机算法及其在 scikit-learn 中的实现，并简要探讨主成分分析及其在 scikit-learn 中的应用。

一、支持向量机概述

支持向量机（SVM）是一种在机器学习领域广泛使用的算法，以其在较少计算资源下提供显著准确性的特点而受到青睐。SVM 可用于分类和回归任务，但在分类问题中应用最为广泛。

什么是支持向量机？

支持向量机的目标是在 $N$ 维空间（$N$ 为特征数）中找到一个能够明确区分数据点的超平面。该超平面使得不同类别的数据点被分开，并且尽可能远离超平面，从而确保分类的稳健性。

为了实现数据点的有效分离，可能存在多个超平面。我们的目标是选择一个具有最大边距的超平面，即两个类别之间的最大距离。最大化边距有助于提高分类的准确性。

超平面和支持向量

超平面是划分数据点的决策边界。位于超平面两侧的数据点可以被分为不同的类别。超平面的维度取决于特征的数量：如果输入特征为 2，则超平面是直线；如果特征为 3，则超平面是二维平面。当特征数量超过 3 时，超平面变得难以直观理解。

支持向量是指那些离超平面最近的点，这些点影响了超平面的位置和方向。通过这些支持向量，我们可以最大化分类器的边距。删除支持向量会改变超平面的位置，因此它们对构建 SVM 至关重要。

大边距直觉

在逻辑回归中，我们使用 S 型函数将线性函数的输出值压缩到 [0,1] 范围内，并根据阈值（0.5）分配标签。而在 SVM 中，我们使用线性函数的输出值来决定分类：如果输出大于 1，则属于一个类；如果输出为 -1，则属于另一个类。SVM 通过将输出值的阈值设为 1 和 -1，形成了边际范围 [-1,1]。

二、数据预处理与可视化

使用支持向量机来预测癌症诊断的良恶性。

数据集的基本信息

• 特征数为30个，例如：
  • 半径（从中心到周长点的距离平均值）
  • 纹理（灰度值的标准偏差）
  • 周长
  • 面积
  • 平滑度（半径长度的局部变化）
  • 紧凑度（周长^2 / 面积 - 1.0）
  • 凹度（轮廓凹陷部分的严重程度）
  • 凹点（轮廓凹陷部分的数量）
  • 对称性
  • 分形维数（“海岸线近似” - 1）
• 数据集包含 569 个样本，类别分布为 212 个恶性样本和 357 个良性样本。
• 目标类别：
  • 恶性
  • 良性

导入必要的库

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns%matplotlib inline
sns.set_style('whitegrid')

加载数据集

from sklearn.datasets import load_breast_cancercancer = load_breast_cancer()# 创建 DataFrame
col_names = list(cancer.feature_names)
col_names.append('target')
df = pd.DataFrame(np.c_[cancer.data, cancer.target], columns=col_names)
df.head()

数据概况

df.info()print(cancer.target_names)
# ['malignant', 'benign']# 数据描述：
df.describe()
# 统计摘要：
df.info()

数据可视化

特征对的散点图矩阵

sns.pairplot(df, hue='target', vars=['mean radius', 'mean texture', 'mean perimeter', 'mean area','mean smoothness', 'mean compactness', 'mean concavity','mean concave points', 'mean symmetry', 'mean fractal dimension'
])

类别分布条形图

sns.countplot(x=df['target'], label="Count")

平均面积与平均光滑度的散点图

plt.figure(figsize=(10, 8))
sns.scatterplot(x='mean area', y='mean smoothness', hue='target', data=df)

变量之间的相关性热图

plt.figure(figsize=(20,10))
sns.heatmap(df.corr(), annot=True)

三、模型训练（问题解决）

在机器学习中，模型训练是寻找问题解决方案的关键步骤。下面我们将介绍如何使用 scikit-learn 进行模型训练，并展示支持向量机（SVM）在不同内核下的性能表现。

数据准备与预处理

首先，我们需要准备和预处理数据。以下是数据预处理的代码示例：

from sklearn.model_selection import cross_val_score, train_test_split
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler, MinMaxScalerX = df.drop('target', axis=1)
y = df.targetprint(f"'X' shape: {X.shape}")
print(f"'y' shape: {y.shape}")
# 'X' shape: (569, 30)
# 'y' shape: (569,)pipeline = Pipeline([('min_max_scaler', MinMaxScaler()),('std_scaler', StandardScaler())
])X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

在代码中，我们使用 MinMaxScaler 和 StandardScaler 对数据进行缩放。数据被分为训练集和测试集，其中 30% 的数据用于测试。

评估模型性能

为了评估模型的性能，我们定义了一个 print_score 函数，该函数可以输出训练和测试结果的准确率、分类报告和混淆矩阵：

from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report
import pandas as pddef print_score(clf, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True):if train:pred = clf.predict(X_train)clf_report = pd.DataFrame(classification_report(y_train, pred, output_dict=True))print("Train Result:\n================================================")print(f"Accuracy Score: {accuracy_score(y_train, pred) * 100:.2f}%")print("_______________________________________________")print(f"CLASSIFICATION REPORT:\n{clf_report}")print("_______________________________________________")print(f"Confusion Matrix: \n {confusion_matrix(y_train, pred)}\n")else:pred = clf.predict(X_test)clf_report = pd.DataFrame(classification_report(y_test, pred, output_dict=True))print("Test Result:\n================================================")        print(f"Accuracy Score: {accuracy_score(y_test, pred) * 100:.2f}%")print("_______________________________________________")print(f"CLASSIFICATION REPORT:\n{clf_report}")print("_______________________________________________")print(f"Confusion Matrix: \n {confusion_matrix(y_test, pred)}\n")

支持向量机（SVM）

支持向量机（SVM）是一种强大的分类算法，其性能受超参数的影响。下面将介绍 SVM 的主要参数及其对模型性能的影响：

• C 参数：控制正确分类训练点和拥有平滑决策边界之间的权衡。较小的 $C$（宽松）使误分类成本（惩罚）较低（软边距），而较大的 $C$（严格）使误分类成本较高（硬边距），迫使模型更严格地解释输入数据。
• gamma 参数：控制单个训练集的影响范围。较大的 $\gamma$ 使影响范围较近（较近的数据点具有较高的权重），较小的 $\gamma$ 使影响范围较广（更广泛的解决方案）。
• degree 参数：多项式核函数（'poly'）的度，被其他内核忽略。可以通过网格搜索来找到最佳超参数值。

线性核 SVM

线性核 SVM 适用于大多数情况，特别是当数据集具有大量特征时。以下是使用线性核 SVM 的代码示例：

from sklearn.svm import LinearSVCmodel = LinearSVC(loss='hinge', dual=True)
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练和测试结果如下：

训练结果：

Accuracy Score: 86.18%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    1.000000    0.819079  0.861809    0.909539      0.886811
recall       0.630872    1.000000  0.861809    0.815436      0.861809
f1-score     0.773663    0.900542  0.861809    0.837103      0.853042
support    149.000000  249.000000  0.861809  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 94  55][  0 249]]

测试结果：

Accuracy Score: 89.47%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   1.000000    0.857143  0.894737    0.928571      0.909774
recall      0.714286    1.000000  0.894737    0.857143      0.894737
f1-score    0.833333    0.923077  0.894737    0.878205      0.890013
support    63.000000  108.000000  0.894737  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 45  18][  0 108]]

多项式核 SVM

多项式核 SVM 适用于非线性数据。以下是使用二阶多项式核的代码示例：

from sklearn.svm import SVCmodel = SVC(kernel='poly', degree=2, gamma='auto', coef0=1, C=5)
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练和测试结果如下：

训练结果：

Accuracy Score: 96.98%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.985816    0.961089  0.969849    0.973453      0.970346
recall       0.932886    0.991968  0.969849    0.962427      0.969849
f1-score     0.958621    0.976285  0.969849    0.967453      0.969672
support    149.000000  249.000000  0.969849  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[139  10][  2 247]]

测试结果：

Accuracy Score: 97.08%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   0.967742    0.972477   0.97076    0.970109      0.970733
recall      0.952381    0.981481   0.97076    0.966931      0.970760
f1-score    0.960000    0.976959   0.97076    0.968479      0.970711
support    63.000000  108.000000   0.97076  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 60   3][  2 106]]

径向基函数（RBF）核 SVM

径向基函数（RBF）核适用于处理非线性数据。以下是使用 RBF 核的代码示例：

model = SVC(kernel='rbf', gamma=0.5, C=0.1)
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练和测试结果如下：

训练结果：

Accuracy Score: 62.56%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.0    0.625628  0.625628    0.312814      0.392314
recall       0.0    1.000000  0.625628    0.500000      0.625628
f1-score     0.0    0.769231  0.625628    0.384615      0.615385
support    149.0  249.0    0.625628  398.0        398.0
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[  0 149][  0 249]]

测试结果：

Accuracy Score: 64.97%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.0    0.655172  0.649661    0.327586      0.409551
recall       0.0    1.000000  0.649661    0.500000      0.649661
f1-score     0.0    0.792453  0.649661    0.396226      0.628252
support    63.0  108.0    0.649661  171.0        171.0
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[  0  63][  0 108]]

总结

通过以上模型训练和评估过程，我们可以观察到不同 SVM 内核的性能差异。线性核 SVM 在准确性和训练时间上表现良好，适用于数据维度较高的情况。多项式核 SVM 和 RBF 核 SVM 在非线性数据上具有更好的表现，但在某些参数设置下可能会导致过拟合。选择合适的内核和超参数对于模型性能的提升至关重要。

四、SVM 数据准备

数字输入：SVM 假设输入数据为数字。如果输入数据为分类变量，可能需要将其转换为二进制虚拟变量（每个类别一个变量）。

二元分类：基本的 SVM 适用于二元分类问题。虽然 SVM 主要用于二元分类，但也有扩展版本用于回归和多类分类。

X_train = pipeline.fit_transform(X_train)
X_test = pipeline.transform(X_test)

模型训练与评估

以下展示了不同 SVM 内核的训练和测试结果：

线性核 SVM

print("=======================Linear Kernel SVM==========================")
model = SVC(kernel='linear')
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练结果：

Accuracy Score: 98.99%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    1.000000    0.984190   0.98995    0.992095      0.990109
recall       0.973154    1.000000   0.98995    0.986577      0.989950
f1-score     0.986395    0.992032   0.98995    0.989213      0.989921
support    149.000000  249.000000   0.98995  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[145   4][  0 249]]测试结果Accuracy Score: 97.66%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   0.968254    0.981481  0.976608    0.974868      0.976608
recall      0.968254    0.981481  0.976608    0.974868      0.976608
f1-score    0.968254    0.981481  0.976608    0.974868      0.976608
support    63.000000  108.000000  0.976608  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 61   2][  2 106]]

多项式核 SVM

print("=======================Polynomial Kernel SVM==========================")
from sklearn.svm import SVCmodel = SVC(kernel='poly', degree=2, gamma='auto')
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练结果：

Accuracy Score: 85.18%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.978723    0.812500  0.851759    0.895612      0.874729
recall       0.617450    0.991968  0.851759    0.804709      0.851759
f1-score     0.757202    0.893309  0.851759    0.825255      0.842354
support    149.000000  249.000000  0.851759  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 92  57][  2 247]]测试结果：Accuracy Score: 82.46%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   0.923077    0.795455  0.824561    0.859266      0.842473
recall      0.571429    0.972222  0.824561    0.771825      0.824561
f1-score    0.705882    0.875000  0.824561    0.790441      0.812693
support    63.000000  108.000000  0.824561  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 36  27][  3 105]]

径向基函数（Radial Basis Function）核 SVM

print("=======================Radial Kernel SVM==========================")
from sklearn.svm import SVCmodel = SVC(kernel='rbf', gamma=1)
model.fit(X_train, y_train)print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(model, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练结果：

Accuracy Score: 100.00%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0    1.0  accuracy  macro avg  weighted avg
precision    1.0    1.0       1.0        1.0           1.0
recall       1.0    1.0       1.0        1.0           1.0
f1-score     1.0    1.0       1.0        1.0           1.0
support    149.0  249.0       1.0      398.0         398.0
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[149   0][  0 249]]测试结果：Accuracy Score: 63.74%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   1.000000    0.635294  0.637427    0.817647      0.769659
recall      0.015873    1.000000  0.637427    0.507937      0.637427
f1-score    0.031250    0.776978  0.637427    0.404114      0.502236
support    63.000000  108.000000  0.637427  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[  1  62][  0 108]]

支持向量机超参数调优

from sklearn.model_selection import GridSearchCVparam_grid = {'C': [0.01, 0.1, 0.5, 1, 10, 100], 'gamma': [1, 0.75, 0.5, 0.25, 0.1, 0.01, 0.001], 'kernel': ['rbf', 'poly', 'linear']} grid = GridSearchCV(SVC(), param_grid, refit=True, verbose=1, cv=5)
grid.fit(X_train, y_train)best_params = grid.best_params_
print(f"Best params: {best_params}")svm_clf = SVC(**best_params)
svm_clf.fit(X_train, y_train)
print_score(svm_clf, X_train, y_train, X_test, y_test, train=True)
print_score(svm_clf, X_train, y_train, X_test, y_test, train=False)

训练结果：

Accuracy Score: 98.24%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.986301    0.980159  0.982412    0.983230      0.982458
recall       0.966443    0.991968  0.982412    0.979205      0.982412
f1-score     0.976271    0.986028  0.982412    0.981150      0.982375
support    149.000000  249.000000  0.982412  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[144   5][  2 247]]测试结果：Accuracy Score: 98.25%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   0.983871    0.981651  0.982456    0.982761      0.982469
recall      0.968254    0.990741  0.982456    0.979497      0.982456
f1-score    0.976000    0.986175  0.982456    0.981088      0.982426
support    63.000000  108.000000  0.982456  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 61   2][  1 107]]

五、主成分分析

PCA 简介

主成分分析（PCA）是一种通过将数据投影到较低维空间来实现线性降维的技术，具体步骤如下：

• 使用奇异值分解：通过奇异值分解将数据投影到低维空间。
• 无监督学习：PCA 不需要标记数据来进行降维。
• 特征转换：尝试找出哪些特征可以解释数据中的最大差异。

PCA 可视化

由于高维数据难以直接可视化，我们可以使用 PCA 找到前两个主成分，并在二维空间中可视化数据。为了实现这一点，需要先对数据进行标准化，使每个特征的方差为单位方差。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)# PCA 降维
pca = PCA(n_components=2)
X_train = pca.fit_transform(X_train)
X_test = pca.transform(X_test)# 可视化前两个主成分
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(X_train[:,0], X_train[:,1], c=y_train, cmap='plasma')
plt.xlabel('First Principal Component')
plt.ylabel('Second Principal Component')
plt.show()

通过前两个主成分，我们可以在二维空间中轻松分离不同类别的数据点。

解释组件

降维虽然强大，但组件的含义较难直接理解。每个组件对应于原始特征的组合，这些组件可以通过拟合 PCA 对象获得。

组件的相关属性包括：

• 成分得分：变换后的变量值。
• 载荷（权重）：特征的组合权重。
• 数据压缩和信息保存：通过 PCA 实现数据的压缩同时保留关键信息。
• 噪声过滤：降维过程中可以过滤掉噪声。
• 特征提取和工程：用于提取和构造新的特征。

支持向量机（SVM）模型的参数调整

在使用支持向量机（SVM）进行模型训练时，我们需要调整超参数以获得最佳模型。以下是使用网格搜索（GridSearchCV）调整 SVM 参数的示例代码：

from sklearn.svm import SVC
from sklearn.model_selection import GridSearchCV# 定义参数网格
param_grid = {'C': [0.01, 0.1, 0.5, 1, 10, 100], 'gamma': [1, 0.75, 0.5, 0.25, 0.1, 0.01, 0.001], 'kernel': ['rbf', 'poly', 'linear']} # 网格搜索
grid = GridSearchCV(SVC(), param_grid, refit=True, verbose=1, cv=5)
grid.fit(X_train, y_train)
best_params = grid.best_params_
print(f"Best params: {best_params}")# 使用最佳参数训练模型
svm_clf = SVC(**best_params)
svm_clf.fit(X_train, y_train)

训练结果：

Accuracy Score: 96.48%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision    0.978723    0.957198  0.964824    0.967961      0.965257
recall       0.926174    0.987952  0.964824    0.957063      0.964824
f1-score     0.951724    0.972332  0.964824    0.962028      0.964617
support    149.000000  249.000000  0.964824  398.000000    398.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[138  11][  3 246]]测试结果：Accuracy Score: 96.49%
_______________________________________________
CLASSIFICATION REPORT:0.0         1.0  accuracy   macro avg  weighted avg
precision   0.967213    0.963636  0.964912    0.965425      0.964954
recall      0.936508    0.981481  0.964912    0.958995      0.964912
f1-score    0.951613    0.972477  0.964912    0.962045      0.964790
support    63.000000  108.000000  0.964912  171.000000    171.000000
_______________________________________________
Confusion Matrix: [[ 59   4][  2 106]]

六、总结

本文我们学习了以下内容：

• 支持向量机（SVM）：了解了 SVM 的基本概念及其在 Python 中的实现。
• SVM 核函数：包括线性、径向基函数（RBF）和多项式核函数。
• 数据准备：如何为 SVM 算法准备数据。
• 超参数调整：通过网格搜索调整 SVM 的超参数。
• 主成分分析（PCA）：如何使用 PCA 降低数据的复杂性，并在 scikit-learn 中进行重用。

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参考：Support Vector Machine & PCA Tutorial for Beginner
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