各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导（二）

参考文献：

• [1] 刘欣怡,付小莉.论连续性方程的推导及几种形式转换的方法[J].力学与实践,2023,45(02):469-474.

书接上回：
我们能得到三个方向的流入流出平衡方程：
$$\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}dxdydz$$
$$\frac{\partial \rho u_y}{\partial y}dxdydz$$
$$\frac{\partial \rho u_z}{\partial z}dxdydz$$

已知在dt时间内的流量变化率为:
$$\frac{\partial \rho dxdydz}{\partial t}$$

则表明净质量流量为：
$$(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz$$

根据系统内的平衡
$$系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间变化率+通过控制面表面的净质量流量$$

对于守恒型：
系统内质量的时间变化率=0

$$0=\frac{\partial \rho dxdydz}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz$$

化简为：
$$0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})$$

写成散度形式：
$$0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla (\mathbf{\rho u})$$

即可得到连续性方程