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各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导(二)

各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导

参考文献:

  • [1] 刘欣怡,付小莉.论连续性方程的推导及几种形式转换的方法[J].力学与实践,2023,45(02):469-474.

在这里插入图片描述

书接上回:
我们能得到三个方向的流入流出平衡方程:
∂ ρ u x ∂ x d x d y d z \frac{\partial \rho u_x}{\partial x}dxdydz xρuxdxdydz
∂ ρ u y ∂ y d x d y d z \frac{\partial \rho u_y}{\partial y}dxdydz yρuydxdydz
∂ ρ u z ∂ z d x d y d z \frac{\partial \rho u_z}{\partial z}dxdydz zρuzdxdydz

已知在dt时间内的流量变化率为:
∂ ρ d x d y d z ∂ t \frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t} tρ dxdydz

则表明净质量流量为:
( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) d x d y d z (\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz (xρux+xρux+xρux)dxdydz

根据系统内的平衡
系统内质量的时间变化率 = 控制体内质量的时间变化率 + 通过控制面表面的净质量流量 系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间 变化率+通过控制面表面的净质量流量 系统内质量的时间变化率=控制体内质量的时间变化率+通过控制面表面的净质量流量

对于守恒型:
系统内质量的时间变化率=0

0 = ∂ ρ d x d y d z ∂ t + ( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) d x d y d z 0=\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x})dxdydz 0=tρ dxdydz+(xρux+xρux+xρux)dxdydz

化简为:
0 = ∂ ρ ∂ t + ( ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x + ∂ ρ u x ∂ x ) 0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+(\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}) 0=tρ+(xρux+xρux+xρux)

写成散度形式:
0 = ∂ ρ ∂ t + ∇ ( ρ u ) 0=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla(\boldsymbol {\rho u}) 0=tρ+(ρu)

即可得到连续性方程

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