关于利用FFT分析时域信号幅相的思考与验证

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引言

利用FFT分析/估计时域信号的幅度和相位，属于传统估计的范畴。估计的准确程度受频率分辨率的影响较大。如果被估计的目标频率等于频率分辨率的整数倍，信号的幅相估计都是最准确的。一旦目标频率不等于频率分辨率的整数倍，幅度估计值将会降低，相位估计值会偏差很大。

下面会通过一些仿真来验证。

单点频实信号估计

信号幅值：10

信号相位：45°

信号频率：100Hz

信号类型：实信号

采样率：1000Hz

采样点数：100

频率分辨率：10Hz

信号频率等于分辨率整数倍

MATLAB代码：

clc;
clearvars;
close all;fs=10e2;
f0=1e2;
p0=-pi/8;
N=100;
t=(0:N-1)/fs;
s=10*cos(2*pi*f0*t+p0);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title('时域波形');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title('幅度谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度')subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title('相位谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/°')

 注意，此处分析的双边谱，所以每边高度为 10/2 = 5；

相位估计很准确，是45°相位。

信号频率不等于分辨率整数倍

如果改变采样点数（改为128），使得频率分辨率变化，不等于分辨率的整数倍，则：

clc;
clearvars;
close all;fs=10e2;
f0=1e2;
p0=pi/4;
N=128;
t=(0:N-1)/fs;
s=10*cos(2*pi*f0*t+p0);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title('时域波形');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title('幅度谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度')subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title('相位谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/°')

 根据仿真结果，发现频率、幅度估值有微小偏差，相位的估计值几乎不可信。

信号频率等于分辨率整数倍，加噪声

考虑噪声影响：

clc;
clearvars;
close all;fs=10e2;
f0=1e2;
p0=pi/4;
N=100;
t=(0:N-1)/fs;
s=10*cos(2*pi*f0*t+p0) + 2*randn(1,N);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title('时域波形');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title('幅度谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度')subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title('相位谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/°')

 根据仿真结果，信号的频率估计准确，但是幅度和相位的估计存在微小误差。

多点频实信号估计

信号的频点均位于频率分辨率整数倍的位置：

clc;
clearvars;
close all;fs=10e2;
f0=1e2;
p0=pi/4;
f1=2e2;
p1=pi/2;
N=100;
t=(0:N-1)/fs;
s=10*cos(2*pi*f0*t+p0) + 4*cos(2*pi*f1*t+p1);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title('时域波形');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title('幅度谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度')subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title('相位谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/°')

对于多点频信号，只要信号频点均位于分辨率整数倍的位置，其估值都十分准确。

多点频复信号估计

下面再试验一下复信号：

clc;
clearvars;
close all;fs=10e2;
f0=1e2;
p0=pi/4;
f1=2e2;
p1=pi/2;
N=100;
t=(0:N-1)/fs;
s=10*exp(1j*(2*pi*f0*t+p0)) + 4*exp(1j*(2*pi*f1*t+p1));
figure;
subplot(411)
plot(real(s))
title('时域波形(实部)');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(412)
plot(imag(s))
title('时域波形(虚部)');xlabel('采样点数');ylabel('采样幅度')subplot(413)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title('幅度谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度')subplot(414)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title('相位谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/°')

 根据仿真结果，可以看出，复信号同样满足上述结论，即信号频率位于分辨率整数倍位置时，用FFT可以精确估计其频率和相位。

结论

结尾处再次说明一下：

不论是是信号还是复信号：

1. 不加噪声时，位于分辨率整数倍处的信号频率、相位均可以被精确估算；
2. 不加噪声时，不位于分辨率整数倍处的信号频率的估计存在微小误差、相位估计值基本不可信；
3. 加噪声时，位于分辨率整数倍处的信号频率可以被精确估算，相位估算存在微小偏差；

可以结合代码和仿真进行理解，如有疑问，评论区留言吧~~