二分查找代码详解

二分查找代码实现

以下是完整的代码和解释：

#include <stdio.h>int binarySearch(int arr[], int length, int target) {int left = 0;int right = length - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出if (arr[mid] == target) {return mid; // 找到目标元素}if (arr[mid] < target) {left = mid + 1; // 目标在右半部分} else {right = mid - 1; // 目标在左半部分}}return -1; // 未找到目标元素
}int main() {int arr[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};int target = 7;int length = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // 在主函数中计算数组长度int result = binarySearch(arr, length, target);if (result == -1) {printf("元素未找到\n");} else {printf("元素找到了，位置为: %d\n", result);}return 0;
}

在上面的代码中，使用 int mid = left + (right - left) / 2; 代替 int mid = (left + right) / 2; 是为了防止整数溢出。具体原因和解释如下：

原因

假设 left 和 right 都是非常大的正整数，那么 left + right 可能会超过 int 类型的表示范围，导致整数溢出。然而， left + (right - left) / 2 通过先计算 (right - left) / 2，确保了不会超过 int 的表示范围。

例子

假设 left = 2147483640 和 right = 2147483646：

• left + right 的值是 4294967286，超过了 int 的最大值 2147483647，会导致溢出。
• right - left 的值是 6，计算 (right - left) / 2 得到 3，然后 left + 3 的结果是 2147483643，没有溢出。

代码执行流程

1. 初始化：

   • left 初始化为数组的起始索引 0。
   • right 初始化为数组的末尾索引 length - 1。

2. 二分查找循环：

   • 计算中间位置 mid，使用 int mid = left + (right - left) / 2; 防止溢出。
   • 检查 arr[mid] 是否等于目标值 target。如果相等，返回 mid。
   • 如果 arr[mid] 小于目标值 target，将 left 更新为 mid + 1，继续在右半部分查找。
   • 如果 arr[mid] 大于目标值 target，将 right 更新为 mid - 1，继续在左半部分查找。

3. 返回结果：

   • 如果找到了目标元素，返回其索引。
   • 如果循环结束后没有找到目标元素，返回 -1。

总结

通过使用 int mid = left + (right - left) / 2;，你可以有效避免由于 left 和 right 的和超出 int 范围导致的溢出问题，确保二分查找在所有情况下都能正确执行。

在数学上证明 left + (right - left) / 2 和 (left + right) / 2 得到的结果是相同的。两者之所以相等，归根结底在于它们的计算方式和中间步骤是相同的。

证明过程

令 ( L ) 表示 left，( R ) 表示 right。

1. 表达式1：(left + right) / 2
   $$\text{mid}=\frac{L+R}{2}$$

2. 表达式2：left + (right - left) / 2
   $$\text{mid}=L+\frac{R-L}{2}$$

为了证明这两个表达式是等价的，我们可以将表达式2进行展开和简化：

$$L+\frac{R-L}{2}=L+\frac{R}{2}-\frac{L}{2}=\frac{2L}{2}+\frac{R}{2}-\frac{L}{2}=\frac{L+R}{2}$$

由此可见，两个表达式是相等的。

原理

在数学上，两者的计算结果是一样的，因为加法和减法在整数范围内是可交换和结合的。然而在计算机科学中，特别是在考虑可能存在的整数溢出问题时，使用 left + (right - left) / 2 更为安全。

整数溢出问题

假设 left 和 right 都是非常大的整数，如果直接计算 (left + right) / 2，有可能导致 left + right 超出整数范围，产生溢出。

比如，在 32 位系统中，最大整数值为 2147483647。如果 left 和 right 的和超过这个值，就会发生溢出，从而导致计算结果错误。

通过 left + (right - left) / 2 这种方式，避免了直接相加可能带来的溢出问题，因为 right - left 的结果不会超过原来的范围。

实际代码示例

#include <iostream>
#include <limits.h>int main() {int left = INT_MAX - 1;int right = INT_MAX;// 计算两种方式的结果int mid1 = (left + right) / 2;int mid2 = left + (right - left) / 2;std::cout << "Using (left + right) / 2: " << mid1 << std::endl;std::cout << "Using left + (right - left) / 2: " << mid2 << std::endl;return 0;
}

结果验证

当 left 和 right 都接近 INT_MAX 时，(left + right) / 2 可能会导致溢出，而 left + (right - left) / 2 则可以避免这个问题，得到正确的结果。

通过这种方式，我们不仅证明了两者的数学等价性，还理解了在编程中为什么更推荐使用 left + (right - left) / 2 来避免潜在的整数溢出问题。