凸优化笔记-基本概念

原文

$$minimize{f}_0(x)$$
$$subjectto{f}_i(x)\le b_i,i=1,...,m$$

凸优化问题：
$$f_i(\alpha x+\beta y)\le \alpha f_i(x)+\beta f_i(y),x,y\in R^n,\alpha +\beta =1,\alpha \ge 0,\beta \ge 0$$
所有的函数都是凸函数时这个规划问题成为凸优化问题。

最小二乘问题

无约束条件下
$$minimize||Ax-b|{|}_2^2$$
$$A^{T}Ax=A^{T}b$$
$$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$$
$$A\in R^{k\times n},k\ge n$$
此处可以猜想一下，举例如k个点拟合一条直线。k个方程求解n个自变量。
带权的最小二乘
$$\Sigma w_i(a_i^{T}x-b)$$

regularization
$${\Sigma }_{i=1}^k(a_i^{T}x-b_i{)}^2+\rho {\Sigma }_{i=1}^n{x}_i^2$$

线性规划
切比雪夫近似问题
$$minimizema{x}_{i=\mathrm{1...}k}|a_i^{T}x-b_i|$$
与最小二乘不同，不使用平方而是使用极大值——一阶矩？1范数
不可微
转化为
$$minimizet$$
$$subjectto{a}_i^{T}x-t\le b_i,-a_i^{T}x-t\le -b_i$$
内点法？

仿射

仿射集合：一个集合 C 在一个向量空间中被称为仿射集合，如果对于集合 CC 中的任意两个点 x 和 y，以及任意实数 α，其中 0≤α≤1，集合 CC 都包含点 (1−α)x+αy。

线性方程组的解集是一个仿射集合

$Ax=b$的解$x_1\ne x_2$
$$A{x}_1=b,A{x}_2=b$$
$$A(\alpha x_1+\beta x_2)=A(\alpha x_1)+A(\beta x_2)=(\alpha +\beta )b=b$$

affine hull

The set of all affine combinations of points in some set C ⊆ Rn is called the affine hull of C, and denoted aff C

在欧几里得空间 Rn 中，一个集合 C 的仿射包（affine hull）是指所有包含在集合 C 中的点的仿射组合的集合。换句话说，它是通过 C中任意有限个点 x1,x2,…,xk的所有可能的线性组合的集合。
仿射包的理解？

aff C = { θ 1 x 1 + . . . + θ n x n ∣ x k ∈ C , Σ θ i = 1 } \textbf{aff}\ C = \{\theta_1x_1+...+\theta_nx_n |x_k\in C,\Sigma\theta_i=1 \} aff C={θ1​x1​+...+θn​xn​∣xk​∈C,Σθi​=1}

affine dimension

集合C的仿射维度定义为他的仿射包（？）
例：对单位圆上的点
{ x ∈ R 2 ∣ x 1 2 + x 2 2 = 1 } \{x\in R^2|x_1^2+x_2^2 = 1 \} {x∈R2∣x12​+x22​=1}
其仿射包是$R^2$（单位圆上的点通过线性组合可以产生）

相对内部（relative interior）
r e l i n t C = { x ∈ C ∣ B ( x , r ) ∩ aff C ⊆ C f o r s o m e r > 0 } relint\ C = \{x\in C|B(x,r)\cap\textbf{aff}C\subseteq C\ for\ some\ r > 0\} relint C={x∈C∣B(x,r)∩affC⊆C for some r>0}
就是这些点的邻域与aff C的交集仍然在C中。
$$\begin{gathered} clC \\ relintC \end{gathered}$$ 为边界

三维空间中的正方形
C = { x ∈ R 3 ∣ ∣ x 1 ∣ ≤ 1 , ∣ x 2 ∣ ≤ 2 , x 3 = 0 } C = \{x\in R^3||x_1|\le1,|x_2|\le2,x_3 = 0\} C={x∈R3∣∣x1​∣≤1,∣x2​∣≤2,x3​=0}
其仿射包是什么呢？是由平面上的点组成的所有线性组合，那么自然是整个平面。那么dimension应该是2

凸集

$$x_1\in C,x_2\in C,0\le \theta \le 1,\theta x_1+(1-\theta )x_2\in C$$
则为凸集
仿射集都是凸集

凸组合：
$${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n,{\theta }_i\ge 0$$

凸包：
conv C = { θ 1 x 1 + . . . + θ k x k ∣ x i ∈ C , θ i ≥ 0 , i = 1 , . . . , k , θ 1 + . . . + θ k = 1 } \textbf{conv} C = \{\theta_1x_1+...+\theta_kx_k|x_i\in C,\theta_i\ge 0,i=1,...,k,\theta_1+...+\theta_k = 1\} convC={θ1​x1​+...+θk​xk​∣xi​∈C,θi​≥0,i=1,...,k,θ1​+...+θk​=1}
设 CC 是一个集合，那么 CC 的凸包 conv©conv© 是包含 CC 中所有点的最小凸集合。换句话说，conv©conv© 是包含 CC 的所有点的最小凸集合，且没有其他凸集合包含 CC 中的所有点。

线性组合、仿射组合与凸组合
对比一下，都是
$${\theta }_1{x}_1+...+{\theta }_k{x}_k$$
但是线性组合对${\theta }_i$无要求，仿射要求$\Sigma {\theta }_i=1$，凸组合要求$\Sigma {\theta }_i=1$，且${\theta }_i\ge 0$
条件越来越强。
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锥集

对任意$x\in C$，都有$\theta x\in C$
锥的顶点在原点。
凸锥====== 又凸又锥（比如一个立在原点的在最粗的地方切开的洋葱头？）

$${\theta }_1{x}_1+...+{\theta }_k{x}_k,{\theta }_i\ge 0$$
conic combination
锥组合
锥包
{ θ 1 x 1 + . . . + θ k x k ∣ x i ∈ C , θ i ≥ 0 , i = 1 , . . . , k } \{\theta_1x_1+...+\theta_kx_k|x_i\in C,\theta_i\ge 0,i=1,...,k\} {θ1​x1​+...+θk​xk​∣xi​∈C,θi​≥0,i=1,...,k}
C的锥包是能包含C的最小的锥集

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超平面和半空间

超平面
$$a^{T}x=b$$
半空间
{ x ∣ a T x ≥ b } \{x|a^Tx\ge b\} {x∣aTx≥b}

椭球
ϵ = { x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1 } \epsilon = \{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\le 1\} ϵ={x∣(x−xc​)TP−1(x−xc​)≤1}
P是对称且正定的，对称轴的长度由特征值的根号给出$\sqrt{{\lambda }_i}$

多面体
P = { x ∣ A x ≼ b , C x = d } P=\{x|Ax≼ b,Cx = d\} P={x∣Ax≼b,Cx=d}
$$A=\left[\begin{array}{c}{a}_1^T\\ .\\ .\\ .\\ a_m^T\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}{c}_1^T\\ .\\ .\\ .\\ c_p^T\end{array}\right]$$

单纯形

n维单纯形有n+1个顶点，如1维线段，2维三角形，三维四面体

单位单纯形$x⪰0,{\text{1}}^{T}x\le 1$ , n维度
概率单纯形$x⪰0,{\text{1}}^{T}x=1$, n-1维度

整半定锥

对称矩阵集合 S n = { X ∈ R n × n ∣ X = X T } S^n=\{X\in R^{n\times n}|X=X^T\} Sn={X∈Rn×n∣X=XT}
其维度为$(n+1)n/2$，可以想想有多少个独立的元素。

非负
S + n = { X ∈ R n × n ∣ X = X T , X ⪰ 0 } S^n_+=\{X\in R^{n\times n}|X=X^T,X\succeq0\} S+n​={X∈Rn×n∣X=XT,X⪰0}
正
S + n + = { X ∈ R n × n ∣ X = X T , X ≻ 0 } S^n_++=\{X\in R^{n\times n}|X=X^T,X\succ 0\} S+n​+={X∈Rn×n∣X=XT,X≻0}
convex set:都是
convex cone:$S_{+}^n+$不是，因为没有0

保凸性的操作

仿射变换、凸集的交集、求和、笛卡尔内积

设有线性矩阵不等式(LMI)
$$A(x)=x_1{A}_1+...+x_n{A}_n⪯B$$
其解集是convex的
仿射变换呢？

透视函数

降低维度 $P:R^{n+1}\to R^n$
可以等效为一个小孔成像摄像机

接受平面位置在$x_3=-1$
小孔在原点，被测物$x_1,x_2,x_3$
则相点为$-(x_1/x_3,x_2/x_3,1)$
$$domP=R^n\times R_{++}$$
$$P(z,t)=z/t$$
如果domP中的C是凸点，他的像
P ( C ) = { P ( x ) ∣ x ∈ C } P(C)=\{P(x)|x\in C\} P(C)={P(x)∣x∈C}
也是凸的

凸函数的条件

1阶判定条件

若f可微，当且仅当dom f凸，而且
$$f(y)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x)$$
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其几何意义为函数上的点永远比某一条切线上的点高（或重合）
（该形式为泰勒一阶展开）

2阶判定条件

$$\nabla f⪰0$$

• $R^n$上的范数都是凸的（由范数的三角不等式得到）
  $$||u_1||+||u_2||\ge ||u_1+u_2||$$
• 最大值函数是凸的
  $$max(x)+max(y)>max(x+y)$$
• 二次overlinear函数
  $$f(x,y)=x^2/y,y>0{\nabla }^{2}f=\left[\begin{array}{cc}2/y& -2x/y^2\\ -2x/y^2& 2x^2/y^3\end{array}\right],det({\nabla }^{2}f)=\frac{2}{y^3}\left|\begin{array}{cc}{y}^2& -xy\\ -xy& 2x^2\end{array}\right|=\frac{2}{y^2}\ast (2x^2{y}^2-x^2{y}^2)>0$$
• 对数求和指数
  $$f(x)=\log (exp(x_1)+exp(x_2)+...+exp(x_n))$$
  $$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{\exp (x_i)}{{\Sigma }_{j=0}^{j=n}\exp (x_j)}$$
  $$z=(exp(x_1),exp(x_2),...,exp(x_n)),{\Sigma }_{j=0}^{j=n}\exp (x_j)={\text{1}}^{T}z$$
  求Hessian矩阵
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=-\frac{\exp (x_i)\exp (x_j)}{({\text{1}}^{T}z{)}^2},i\ne j$$
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}=\frac{\exp (x_i)}{{\text{1}}^{T}z}-\frac{\exp (x_i{)}^2}{({\text{1}}^{T}z{)}^2}$$
  i=j时二阶导导前半部分可以组成一个对角阵列，后半部分和不等时的形式相同
  $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{({\text{1}}^{T}z{)}^2}(({\text{1}}^{T}z)diag(z)-z{z}^T)$$
  对任意v，有
  $$v^T{\nabla }^{2}fv=\frac{1}{({\text{1}}^{T}z{)}^2}({\Sigma }_{j=0}^{j=n}{z}_j{\Sigma }_{j=0}^{j=n}{v}_j^2{z}_j-v^{T}z{z}^{T}v)=\frac{1}{({\text{1}}^{T}z{)}^2}({\Sigma }_{j=0}^{j=n}{z}_j{\Sigma }_{j=0}^{j=n}{v}_j^2{z}_j-({\Sigma }_{j=0}^{j=n}{z}_j{v}_j{)}^2)$$
  此处使用Cauchy-Schwarz不等式，$a_i=v_i\sqrt{z_i},b_i=\sqrt{z_i},(a^{T}a)(b^{T}b)\ge (a^{T}b{)}^2$，可得上式不小于0。

Epigraph 外图

函数f的graph定义为
$$\{(x,f(x))|x\in \text{dom}f\}$$
是${\text{R}}^{n+1}$的子集
其epigraph为
$$\text{epi}f=\{(x,t)|x\in \text{dom}f,f\le t\}$$
(‘Epi’ means ‘above’ so epigraph means ‘above the graph’.)
亚图为
$$\text{hypo}f=\{(x,t)|x\in \text{dom}f,f\ge t\}$$

这个图能建立凸集和凸函数的关系。当且仅当外图(epi f)是凸的时候函数是凸的。
当且仅当亚图(hypo f)是凸的时候函数是凹的

• 矩阵分式函数
  $$f(x,Y)=x^T{Y}^{-1}x,\text{dom}f={\text{R}}^n\times {\text{S}}_{++}^n$$

$$\text{epi}f=\{(x,Y,t)|Y\succ 0,f(x,Y)\le t\}$$
$$x^T{Y}^{-1}x\le t$$
此处需要用到舒尔补（Schur complement)
$$M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$$
如果A可逆，则其舒尔补为$D-C{A}^{-1}B$
代入有
$$M=\left[\begin{array}{cc}Y& x\\ x^T& t\end{array}\right]⪰0$$