数模原理精解【5】

二元分布

满足要求

连续情况下，$\phi (x,y)$为随机变量$X、Y$的联合概率分布(二元分布)，如果以下条件满足：
$$\begin{gathered} 1、\forall X和Y值有0\le \phi (x,y)\le 1 \\ 2、离散型：\sum _y\sum _x\phi (x,y)=1 \\ 连续型:{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x,y)dxdy=1 \end{gathered}$$

边际分布

• $\phi (x,y)$为随机变量$X、Y$的联合概率分布

$$\begin{array}{rl}& 离散型：\\ & X边际概率密度：{\phi }_X(x)=P(X=x)=\sum _{y}P(X=x,Y=y)=\sum _y\phi (x,y)\\ & Y边际概率密度：{\phi }_Y(y)=P(Y=y)=\sum _{x}P(X=x,Y=y)=\sum _x\phi (x,y)\\ & 连续型：\\ & X边际概率密度：{\phi }_X(x)=\int \phi (x,y)dy\\ & Y边际概率密度：{\phi }_Y(y)=\int \phi (x,y)dx\end{array}$$

条件概率

$$P(A|B)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}$$

例子1

$$\begin{gathered} 设: \\ P(0,0)=0.27,P(0,1)=0.19,P(0,2)=0.24 \\ P(1,0)=0.1,P(1,1)=0.03，P(1,2)=0.17 \\ \phi (x,y)=P(X=x,Y=y) \\ 1、0\le \phi (x,y)\le 1 \\ 2、\sum _x\sum _y\phi (x,y)=0.27+0.19+024+0.1+0.03+0.17=1 \\ 符合离散型二元分布的要求。 \\ 一、求{\phi }_X(1)=P(X=1)=?，此为条件概率分布 \\ P(X=1)=P(Y|X=1)=P(Y|1)=\frac{P(X\bigcap Y)}{P(X)}=\frac{P(1,Y)}{P(1)}=\frac{P(1,Y)}{P(1,0)+P(1,1)+P(1,2)} \\ =\frac{P(1,Y)}{0.1+0.03+0.17}=\frac{P(1,Y)}{0.3} \\ P(Y=2,X=1)=P(Y=2|1)=P(2|1)=\frac{P(1,2)}{0.3}=\frac{0.17}{0.3}=0.56 \\ 二、边际概率分布 \\ Y边际概率密度：{\phi }_Y(2)=P(Y=y)=P(Y=2) \\ =\sum _{x}P(X=x,Y=2)=\sum _{x}P(x,2) \\ =0.24+0.17=0.41 \end{gathered}$$

例子2

$$\begin{gathered} 对于 \\ \phi (x,y)=P(a_x\le X\le b_x,a_y\le Y\le b_y)={\int }_{a_x}^{b_x}{\int }_{a_y}^{b_y}\phi (x,y)dxdy \\ 1、\forall X和Y值有0\le \phi (x,y)\le 1 \\ 2、连续型:{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (x,y)dxdy=1 \\ 符合连续型二元分布的要求。 \\ 设:a_x=0,b_x=1,a_y=0,b_y=1 \\ \phi (x,y)=\{\begin{array}{ll}3x+5y^2& \text{if }0\le X\le 1,0\le Y\le 1\\ 0& \text{if }else\end{array} \\ 一、求边际概率分布 \\ {\phi }_X(x)=? \\ {\phi }_X(x)=\int \phi (x,y)dy \\ ={\int }_0^1\phi (x,y)dy={\int }_0^1(3x+5y^2)dy=3x+5{\int }_0^1{y}^{2}dy=3x+\frac{5}{3}{y}^3{|}_0^1=3x+\frac{5}{3} \\ {\phi }_Y(y)=? \\ {\phi }_Y(y)=\int \phi (x,y)dx \\ ={\int }_0^1\phi (x,y)dx={\int }_0^1(3x+5y^2)dx=\frac{3}{2}{x}^2{|}_0^1+5y^2=\frac{3}{2}+5y^2 \\ 给定任意y值： \\ {\phi }_Y(0.5)=\frac{3}{2}+5\ast 0.5^2 \\ {\phi }_Y(-1)=0 \\ 二、求条件概率分布 \\ \begin{array}{rl}& {\phi }_{X|Y}(x|y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}=\frac{{\phi }_{X,Y}(x,y)}{{\phi }_Y(y)}\\ & {\phi }_{Y|X}(y|x)=\frac{P(Y=y,X=x)}{P(X=x)}=\frac{{\phi }_{X,Y}(x,y)}{{\phi }_X(x)}\end{array} \\ {\phi }_{X|Y}(x|y)=\frac{{\phi }_{X,Y}(x,y)}{{\phi }_Y(y)}=\frac{3x+5y^2}{\frac{3}{2}+5y^2} \\ {\phi }_{Y|X}(y|x)=\frac{{\phi }_{X,Y}(x,y)}{{\phi }_X(x)}=\frac{3x+5y^2}{3x+\frac{5}{3}} \\ 设y=0.7,x\le \frac{1}{3} \\ {\phi }_{X|Y}(X\le \frac{1}{3},Y=0.7)=P(X\le \frac{1}{3},X=0.7)={\int }_0^{\frac{1}{3}}{\phi }_{X|Y}(x|0.7)dx={\int }_0^{\frac{1}{3}}\frac{3x+5\ast (0.7{)}^2}{\frac{3}{2}+5\ast (0.7{)}^2}dx=..... \\ 设x=0.7,y\le \frac{1}{3} \\ {\phi }_{Y|X}(Y\le \frac{1}{3},X=0.7)=P(X\le \frac{1}{3},X=0.7)={\int }_0^{\frac{1}{3}}{\phi }_{Y|X}(y|0.7)dx={\int }_0^{\frac{1}{3}}\frac{3\ast 0.7+5y^2}{3\ast 0.7+\frac{5}{3}}dy=... \end{gathered}$$

损失函数

$$\begin{gathered} L(c_1,a_1)为损失函数 \\ 其中，a_1为事件，c_1为自然状态的真值。 \\ (c_1,a_1)\in C\ast A \\ c为参数，属于参数空间C \\ a为行为（事件），属于所有可能的事件集合A \end{gathered}$$

概率分布

• 调查结果为随机变量$X=(x_1,x_2,...,x_n)$，$x_i$为同一分布的独立观测值，发生的自然状态是$c$（可理解为给定条件），$P_c(A)$为事件A在自然状态c发生时出现的概率，$\phi$为概率函数，即随机事件到其发生概率的映射。
• $\Phi 为样本空间集合，其元素为某随机变量X(X\in \Phi )，X包括很多事件x_1,x_2....,x_n$
• 连续
  $$P_c(A)=\underset{A}{\int }\phi (x|c)dx$$
  -离散
  $$P_c(A)=\sum _{x\in A}\phi (x|c)$$

期望值

$$\begin{gathered} \mu (x)为对X的数学期望，给定条件c值。 \\ {E}_c[\mu (x)]={\int }_{\Phi }\mu (x)\phi (x|c)dx \\ =\sum _{x\in \Phi }\mu (x)\phi (x|c) \end{gathered}$$

例

1、设一个产品所需要的某原材料可用两种材料之一，这两种材料分别被A方和B方提供。
产品选择原材料导致产品使用寿命损失函数为：
$$\begin{gathered} L(c,a_1)=|5c^2+7c| \\ L(c,a_2)=|2c+8c^2| \\ 其中，a_2表示产品所需原材料被B方提供，a_1表示产品所需要原材料被A方提供，c表示该材料的强度耐受度。 \end{gathered}$$
2、将二百万人民币投资某项目，或存入基金，其损失函数（单位：万元，负数表示收益）为：
$$\begin{gathered} 设a_1表示投资某项目，a_2表示存入基金，c_1表示取得预期收益，c_2表示没有取得预期收益。 \\ L(a_1,c_1)=-9 \\ L(a_1,c_2)=7 \\ L(a_2,c_1)=-28 \\ L(a_2,c_2)=50 \end{gathered}$$
损失矩阵如下：

a-c	c1	c2
a1	-9	7
a2	-28	50

参考文献

1、《统计决策理论与贝叶斯分析》
2. 《统计学（原书第五版）》