【线性代数】【二】2.2极大线性无关组与向量空间的基

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前言

上一篇中我们介绍了向量空间的概念，并且学习了对任意给出的一组向量，如果构造一个向量空间。本文将更加细致的去分析张成一个向量空间，具有哪些性质。并且简要讨论向量空间的基。

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一、极大线性无关组

首先，我们再研究一下由向量组构造出向量空间的过程。也就是对该向量组做任意系数的线性组合。说到线性组合，我们就会想到之前学过的一个概念——线性相关。

若一组向量${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...{\mathbf{x}}_n$线性相关，则存在一组不全为0的系数，使得$a_1{\mathbf{x}}_1+a_2{\mathbf{x}}_2+。。。a_n{\mathbf{x}}_n=0$

不全为0，则说明至少一个为0，而如果该组向量中没有零向量，则至少得有两个系数不为0。可见，线性相关说明了，这一组向量中，有一些向量可以被另一些向量所线性表示（只要把他们放在等号两边就行了；0向量可以被任意向量线性表示）。

而构造向量空间的过程就是做线性组合，即张成。因此，如果我们先对目标向量组做一个“过滤”，把所有已经可以被向量组中其他向量线性表示的向量删除，剩下的皆为线性无关的向量时，我们称剩下的向量构成原向量组的极大线性无关组，用这个所谓的极大线性无关组为基础做线性组合，得到的（张成的）向量空间与原本的是完全一致的。

需要补充一点，极大线性无关组并不一定是唯一的，但是其中向量的个数一定是唯一的。例如在向量组$\{[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]\}$中，第三个向量可以被前两个向量线性表示，因此该向量组的极大线性无关组为$\{[1,0,0],[0,1,0]\}$。（同样，$\{[1,0,0],[1,1,0]\}$也可以构成一个极大线性无关组）因此，原向量组张成的线性空间中的任意向量，也均可以被该线性无关组线性表示。

二、向量空间的基

在高中学习向量的时候，其实我们已经学习过向量的基的概念了，即一组可以表示任意向量的向量，即可作为该空间的基底。现在这个概念也是类似的，但是又有些许不同。

在高中数学中，我们学习的向量空间局限于$R^2$，$R^3$这种标准的向量空间，我们知道二维平面的基底有两个向量，三维空间的基底要三个向量。那么，回到上面所举例子，由$\{[1,0,0],[0,1,0],[1,1,0]\}$所张成的向量空间，他们的基需要多少个向量？

由上述的极大线性无关组的概念我们知道，只需要前两个向量即可张成该空间，而该向量空间中的任意向量均可由它们线性表示。这也就满足了向量空间的基的条件。因此，这个向量空间的基就是$\{[1,0,0],[0,1,0]\}$。虽然，这个空间中的向量都是三维向量，属于$R^3$，但是由这个向量组张成的空间是个二维空间——向量空间的维度等于张成该空间所需的基向量的个数

三、向量维数与向量空间维数

再扩展一些，由上述例子我们可以猜想，在$R^n$空间中，我们可以找到$m$（$m⩽n$）个线性无关的向量，用来张成一个m维空间。

这个猜想很容易验证，因为$R^m$空间中可以找到一组基来张成该空间，只需要对该组基进行向量维度扩充，即可得到$m$个线性无关的$n$维向量，满足上述猜想条件。

但是，我们无法在$R^n$找到$m$（$m>n$）个线性无关的向量，来张成一个维数大于$n$的向量空间。这个同样容易验证，假设我们找到了这样的$m$个线性无关的向量，那么我们任意取其中$n$个向量，那么该$n$向量可以表示$R^n$中的任意向量，这与$m$个线性无关向量这一条件矛盾。因此假设不成立。

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总结

本文基于上文介绍的向量空间的概念，进一步介绍了极大线性无关组，向量空间的基，已经向量空间的维数与向量维数的关系。p.s. 极大线性无关组是一个针对向量组的概念，而一组基向量是针对向量空间的概念，这一点要区分清楚。