相关性检验

在数据分析的广阔天地中，相关性检验是探索变量间关系的一把钥匙。本文将带领大家了解几种常用的相关性检验方法：Pearson、Spearman、Cochran’s Q、Kappa和Kendall。我们将深入每种方法的计算公式，并以几个实例，展示如何使用这些方法来计算相关性。

Pearson相关系数

Pearson相关系数是衡量两个连续变量线性相关程度的指标。其值介于-1到1之间，公式如下：

$r_{\text{Pearson}}=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}\sqrt{\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2}}$

其中，$X_i$ 和 $Y_i$ 是观测值，$\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 是它们的均值。

Spearman等级相关系数

Spearman等级相关系数适用于非参数数据，衡量两个变量的单调关系。计算公式如下：

$r_{\text{Spearman}}=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$

$d_i$ 是排名差，$n$ 是观测值数量。

Cochran’s Q检验

Cochran’s Q检验用于三个或更多个相关比例的差异性检验。其公式为：

$Q=k-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times n}\sum (p_i-p_{\text{overall}}{)}^2$

$k$ 是比例的数量，$p_i$ 是第 $i$ 个比例，$p_{\text{overall}}$ 是所有比例的平均值。

Kappa一致性系数

Kappa一致性系数用于衡量两个评估者在分类数据上的一致性。其计算公式如下：

$$\kappa =\frac{p_o-p_e}{1-p_e}$$

$p_o$ 是观察到的一致性比例，$p_e$ 是偶然一致性的比例。

Kendall相关系数

Kendran的tau-b相关系数是衡量两个变量相关性的非参数方法。其计算公式如下：

${\tau }_b=\frac{2(\text{number of concordant pairs})-2(\text{number of discordant pairs})}{n(n-1)}$

实例分析

实例数据

学生	测试1	测试2
A	78	82
B	85	80
C	90	88
D	60	65
E	70	75

Pearson相关系数
$\bar{X}=\frac{78+85+90+60+70}{5}=76$
$\bar{Y}=\frac{82+80+88+65+75}{5}=79$
$r_{\text{Pearson}}=\frac{(78-76)(82-79)+...+(70-76)(75-79)}{\sqrt{((78-76{)}^2+...+(70-76{)}^2)((82-79{)}^2+...+(75-79{)}^2)}}$
$r_{\text{Pearson}}=0.967$（四舍五入到小数点后三位）

Spearman等级相关系数
等级分配：

• 测试1: A(3), B(5), C(5), D(1), E(2)
• 测试2: A(4), B(3), C(5), D(1), E(3)

计算$d_i$并应用公式，我们得到：
$r_{\text{Spearman}}=1$（因为排名完全一致）

Kendall相关系数
计算一致对和不一致对的数量：

• 一致对：(A,B), (B,C), (C,E) - 3对
• 不一致对：(A,C), (A,D), (A,E), (B,D), (B,E), (D,E) - 6对
  ${\tau }_b=\frac{2(3)-2(6)}{5(5-1)}=-\frac{4}{8}=-0.5$（负相关）

Python代码

import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import pearsonr, spearmanr# 定义数据
data = {'测试1': [78, 85, 90, 60, 70],'测试2': [82, 80, 88, 65, 75]
}# 创建DataFrame
df = pd.DataFrame(data)# 计算Pearson和Spearman相关系数
pearson_corr, _ = pearsonr(df['测试1'], df['测试2'])
spearman_corr, _ = spearmanr(df['测试1'], df['测试2'])# 创建相关性矩阵
corr_matrix = {'测试1': [pearson_corr, spearman_corr],'测试2': [spearman_corr, 1]  # 假设测试1和测试2完全相关
}# 创建DataFrame
corr_df = pd.DataFrame(corr_matrix, index=['测试1', '测试2'])# 绘制热力图
sns.heatmap(corr_df, annot=True, cmap='coolwarm', fmt=".2f")
plt.title('相关性热力图')
plt.show()

总结

通过上述分析，我们可以看到不同相关性检验方法如何揭示变量间的关系。每种方法都有其特定的应用场景和优势。选择合适的方法来分析你的数据，可以更准确地理解变量间的相互作用。