【图形学】TA之路-向量

向量

向量 是一个有大小和方向的数学对象。在三维空间中，向量通常表示为 (v_x, v_y, v_z)。

基本操作

1. 加法：

   a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)
   

2. 减法：

   a - b = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)
   

3. 标量乘法：

   k * v = (k * v_x, k * v_y, k * v_z)
   

4. 模（长度）：

   ||v|| = sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)
   

5. 归一化：

   Normalized(v) = v / ||v||
   

---

点乘（Dot Product）

点乘 计算两个向量的内积，结果是一个标量。公式为：

a · b = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z

应用

1. 光照计算：

   Intensity = max(0, N · L)
   

   其中 N 是法线向量，L 是光源方向向量。

2. 夹角计算：

   cos(θ) = (a · b) / (||a|| * ||b||)
   

3. 投影：

   Projection of a onto b = (a · b) / ||b||

---

叉乘（Cross Product）

叉乘 计算两个向量的外积，结果是一个垂直于原来的两个向量的向量。公式为：

a × b = (a_y * b_z - a_z * b_y, a_z * b_x - a_x * b_z, a_x * b_y - a_y * b_x)

应用

1. 法线计算：

   N = A × B
   

2. 旋转： 叉乘用于计算物体旋转时的旋转轴和角度。

3. 计算平行四边形面积：

   Area = ||a × b||
   

---

在 Unity 中的应用

1. 光照计算： 使用点乘计算光照强度，特别是在实现漫反射和镜面反射时。

2. 法线计算： 使用叉乘计算物体表面的法线向量，用于光照和碰撞检测。

3. 物体移动和旋转： 使用向量操作计算物体的移动、旋转和缩放。

4. 碰撞检测： 使用向量来计算物体间的距离和相对位置，判断是否发生碰撞。

---

图形学中的应用

1. 光照模型： 点乘用于计算漫反射光照强度，叉乘用于计算法线向量。

2. 计算视角： 通过点乘计算视角的大小，用于相机视角和景深效果。

3. 变换矩阵： 向量运算用于计算变换矩阵，进行模型、视图和投影的变换。

4. 物体表面属性： 使用法线向量和光源方向向量进行阴影计算和表面细节渲染。

5. 基于Unity：源码解析，unity进行了封装，大概是这意思
    

   using System.Collections;
   using System.Collections.Generic;
   using UnityEngine;namespace Ethan
   {public struct Vector3{public float x, y, z;public Vector3(float x, float y, float z){this.x = x;this.y = y;this.z = z;}/// <summary>/// 两个向量之和 /// 应用：向前位移、力的合成、可取/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <returns></returns>public static Vector3 operator +(Vector3 a, Vector3 b){return new Vector3(a.x + b.y, a.y + b.y, a.z + b.z);}/// <summary>/// 两个向量之差/// 应用：向后位移、计算反作用力/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <returns></returns>public static Vector3 operator -(Vector3 a, Vector3 b){return new Vector3(a.x - b.y, a.y - b.y, a.z - b.z);}/// <summary>/// 计算向量和标量的乘法/// 应用：放大或缩小物体的模型、位移计算、计算力、加速度等物理量时，经常需要将向量与标量相乘/// </summary>/// <param name="k"></param>/// <param name="v"></param>/// <returns></returns>public static Vector3 operator *(Vector3 v, float k){return new Vector3(k * v.x, k * v.y, k * v.z);}/// <summary>/// 计算两点之间的距离 /// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <returns></returns>public static float Disance(Vector3 a, Vector3 b){return Mathf.Sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y) + (a.z - b.z) * (a.z - b.z));}/// <summary>/// 计算向量-标准化（求模）/// 应用：主要用来计算向量的长度或大小/// </summary>public float Magnitude{get { return Mathf.Sqrt(x * x + y * y + z * z); }}/// <summary>/// 向量 归一化/// 将向量转换为单位向量（长度为 1 的向量），保留方向但调整大小/// 应用：单位向量在方向计算、光照计算、法线计算/// </summary>public Vector3 Normalized{get{float mag = this.Magnitude;if (mag > 0){return this * (1 / mag);}return new Vector3(0, 0, 0); // 返回一个零向量，如果原向量的长度为零}}/// <summary>/// 点乘/// 应用：光照计算、背面裁剪、计算投影/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <returns></returns>public static float Dot(Vector3 a, Vector3 b){return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;}/// <summary>/// 叉乘/// 应用：/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <returns></returns>public static Vector3 Cross(Vector3 a, Vector3 b){return new Vector3(a.y * b.z - a.z * b.y,a.z * b.x - a.x * b.z,a.x * b.y - a.y * b.x);}}
   }