同态加密和SEAL库的介绍（六）BGV 方案

         前面介绍 BFV 和 CKKS 加密方案，这两者更为常用。并且也解释了 Batch Encoder 和 级别的概念，这对接下来演示 BGV 会很有帮助。

一、BGV简介

        BGV (Brakerski-Gentry-Vaikuntanathan) 方案 是一种基于环学习同态加密（RLWE）问题的加密方案。BGV 方案可以实现任意计算电路的同态加密，特别适合于加密数据的复杂运算。

特点：

• 同态运算：支持加法和乘法的任意组合，这意味着它可以评估任意计算电路。
• 级联密文：密文可以通过一系列同态运算来处理，而不需要在每一步进行解密和重新加密。
• 噪声管理：在每次同态运算之后，密文中的噪声会增加。BGV 方案采用了噪声管理技术（例如重新线性化和模数切换）来控制噪声增长，确保运算的正确性。

优点：

• 灵活性：支持任意复杂的计算。
• 效率：通过噪声管理技术提高了运算效率。
• 安全性：基于环学习同态加密问题的安全性高。

缺点：

• 复杂性：实现和使用BGV方案比一些其他方案更为复杂。
• 资源消耗：噪声管理和重新线性化等操作增加了计算和存储的开销。

二、3种方案比较：

先看发展顺序：

• BGV 方案：2011年 Brakerski、Gentry 和 Vaikuntanathan 提出。
• BFV 方案：2012年 Fan 和 Vercauteren 提出。
• CKKS 方案：2017年 Cheon、Kim、Kim 和 Song 提出。

分别的适用场景：

• 如果需要对整数进行精确计算，BFV 方案是一个好的选择。
• 如果需要对浮点数进行近似计算，CKKS 方案是更合适的。
• 如果需要复杂的计算电路，BGV 方案提供了最大的灵活性。

        每种方案都有其独特的优势和适用场景，在实际应用中，选择适合的方案可以最大化地发挥同态加密技术的优势。

三、BGV 示例

        在本示例中，计算8次多项式  ，并且在整数 1、2、3、4上的加密 。多项式的系数可以看作是明文输入计算在 plain_modulus == 1032193 模数下进行。

        在BGV方案中对加密数据进行计算类似于BFV。这个例子的主要目的是解释BFV和BGV在密文系数模数选择和噪声控制方面的区别。

3.1 参数设置和创建实例

这里先使用 BFVDefault 创建 coeff_modulus，后面会介绍如何更好的设置。

EncryptionParameters parms(scheme_type::bgv);
size_t poly_modulus_degree = 8192;
parms.set_poly_modulus_degree(poly_modulus_degree);
parms.set_coeff_modulus(CoeffModulus::BFVDefault(poly_modulus_degree));
parms.set_plain_modulus(PlainModulus::Batching(poly_modulus_degree, 20));
SEALContext context(parms);KeyGenerator keygen(context);
SecretKey secret_key = keygen.secret_key();
PublicKey public_key;
keygen.create_public_key(public_key);
RelinKeys relin_keys;
keygen.create_relin_keys(relin_keys);
Encryptor encryptor(context, public_key);
Evaluator evaluator(context);
Decryptor decryptor(context, secret_key);

        这里想再次强调一下，因为用的是 Batch 批处理，所以在设置 plain_modulus 的时候，要求是与 2倍 poly_modulus_degree 同余 1 的素数，这与普通的 Encoder 要求不同。上面代码中是用 PlainModulus::Batching 自动生成满足条件的随机数。
        这里输出设置的参数：

3.2 设置输入并编码

        批处理和槽操作在 BFV 和 BGV 中是相同的：

BatchEncoder batch_encoder(context);
size_t slot_count = batch_encoder.slot_count();
size_t row_size = slot_count / 2;

        这里特意设置 row_size 变量，是因为之前讲批处理的时候，强调过内部在逻辑上会编码成两行，故其实就是   。当然这个结构对于编码和计算是基本无感的，只有在考虑行旋转和列旋转的时候会有影响，这个下一篇会具体介绍（挖坑 + 1）。

vector<uint64_t> pod_matrix(slot_count, 0ULL);
pod_matrix[0] = 1ULL;
pod_matrix[1] = 2ULL;
pod_matrix[2] = 3ULL;
pod_matrix[3] = 4ULL;
Plaintext x_plain;
batch_encoder.encode(pod_matrix, x_plain);

这里对编码结果打印输出一下：

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3.3 直接运算

Ciphertext x_encrypted;
cout << "Encrypt x_plain to x_encrypted." << endl;
encryptor.encrypt(x_plain, x_encrypted);
cout << "+ noise budget in freshly encrypted x: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_encrypted) << " bits" << endl;

这里先对输入进行加密，并输出噪声预算：

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先计算 ：

Ciphertext x_squared;
evaluator.square(x_encrypted, x_squared);
cout << "+ size of x_squared: " << x_squared.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_squared, relin_keys);
cout << "+ size of x_squared (after relinearization): " << x_squared.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_squared: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;

        因为是 密文乘密文，为了减少乘法后的密文大小，这里进行了重新线性化，并输出了噪声预算，同时进行解密验证：

可以看出，运算中间结果是正确的，并且重新线性化后，密文大小从3减小到2。

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再计算 ：

Ciphertext x_4th;
evaluator.square(x_squared, x_4th);
cout << "+ size of x_4th: " << x_4th.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_4th, relin_keys);
cout << "+ size of x_4th (after relinearization): " << x_4th.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_4th: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_4th) << " bits" << endl;

同样进行了重新线性化，并输出目前噪声预算，同时进行解密验证：

可以看出这里的噪声预算下降的特别快，只剩 35 bits 了。

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最后计算 ：

Ciphertext x_8th;
evaluator.square(x_4th, x_8th);
cout << "+ size of x_8th: " << x_8th.size() << endl;
evaluator.relinearize_inplace(x_8th, relin_keys);
cout << "+ size of x_8th (after relinearization): " << x_8th.size() << endl;
cout << "+ noise budget in x_8th: " << decryptor.invariant_noise_budget(x_8th) << " bits" << endl;

        噪声预算已经达到0，这意味着解密无法得到正确的结果。故此，引出 BGV需要模数切换以减少噪声增长！

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3.4 加入模数切换的运算

下面演示在每次重新线性化后插入模数切换：（避免啰嗦，这里直接完整计算）

cout << "+ noise budget in x_squared (previously): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;
evaluator.square(x_encrypted, x_squared);
evaluator.relinearize_inplace(x_squared, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_squared);
cout << "+ noise budget in x_squared (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_squared) << " bits" << endl;evaluator.square(x_squared, x_4th);
evaluator.relinearize_inplace(x_4th, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_4th);
cout << "+ noise budget in x_4th (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_4th) << " bits" << endl;evaluator.square(x_4th, x_8th);
evaluator.relinearize_inplace(x_8th, relin_keys);
evaluator.mod_switch_to_next_inplace(x_8th);
cout << "+ noise budget in x_8th (with modulus switching): " << decryptor.invariant_noise_budget(x_8th) << " bits" << endl;decryptor.decrypt(x_8th, decrypted_result);
batch_encoder.decode(decrypted_result, pod_result);

这里对中间结果也进行解密，并输出其噪声预算的变化：

        这里仔细对比可以发现：虽然通过模数切换 x_squared 的噪声预算比之前少，但噪声预算的消耗速率较慢，故最后可以正确解密。

四、总结

        通过之前的介绍实验，我们能发现，有时候进行模数切换会损耗噪声预算，但是进行到一定乘法深度后，再进行切换就不会损耗噪声，这种情况是一定适合加入模数切换的。
        同时上面发现虽然降低了 x_squared 的噪声预算，但是噪声预算的消耗减慢，故这种情况也适合加入模数切换。

        但是这些不意味着在每次计算后都应该进行模数切换，因为要权衡减少的预算和减缓消耗的速度，最好自己进行实验比对。"故为了在应用中实现噪声预算的最佳消耗速率，需要仔细选择插入模数切换的位置，并手动选择 coeff_modulus。"

下篇介绍对密文进行的 行旋转 和 列旋转（未完待续。。。）