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【概念速通】李群 lie group

news 2025/12/17 17:02:59

李群 lie group 概念速通

    • 快速示例介绍：
        • 【引入】单位复数 (The unit complex numbers) 是李群 (lie group) 最简单的例子之一
        • 【进一步】SO(2): The 2D rotation matrices
        • 【Typical uses】SE(2): Pose of a robot in the plane
    • Group & Lie Group 定义：
        • 什么是 Group ?
        • 什么是 Lie Group ? 【Continuous Transformation Groups】
    • Tangent space & 两种表示方式 (Lie Algebra 和 Cartesian 笛卡尔坐标系)

在这里插入图片描述

李群的概念能够使我们构造强大的规划、控制算法

  • 强烈建议大家对照大佬的视频讲解一起看 👉 【机器人学——李群、李代数快速入门】

快速示例介绍：

【引入】单位复数 (The unit complex numbers) 是李群 (lie group) 最简单的例子之一
  • 如下图所示的 z：
【进一步】SO(2): The 2D rotation matrices

  • operator vs. vectors: 将产生旋转的主体和被旋转的元素分开，则得到下图 (李群为左图)

    • 左图：the elements that are able to transform other elements of another set (R is able to rotate x)
    • operator vs. vectors 不一定能绘制在一个图上，例如对于 S3 (The unit quaternions) 有下图
【Typical uses】SE(2): Pose of a robot in the plane
  • 将平面上的运动抽象为在球体上移动的点的运动
  • 进一步，更复杂的，例如机器人多关节在3维空间中的移动

Group & Lie Group 定义：

什么是 Group ?
  • Group Actions
什么是 Lie Group ? 【Continuous Transformation Groups】
  • Def: a group that is also a smooth manifold

Tangent space & 两种表示方式 (Lie Algebra 和 Cartesian 笛卡尔坐标系)

  • 后者 Cartesian 笛卡尔坐标系 更方便操作，更容易理解

【本篇为李群基本概念，后续会继续展开 …】

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