AtCoder Beginner Contest 365 A~E

A.Leap Year（思维）

题意：

给你一个介于$1583$和$2023$之间的整数$Y$。

求公历$Y$年的天数。

在给定的范围内，$Y$年的天数如下：

• 如果$Y$不是$4$的倍数，则为$365$天；
• 如果$Y$是$4$的倍数，但不是$100$的倍数，则为$366$天；
• 如果$Y$是$100$的倍数，但不是$400$的倍数，则为$365$天；
• 如果$Y$是$400$的倍数，则为$366$天。

分析：

判断年份是否为闰年。

• 如果$n$不能被$4$整除，那么不是闰年。
• 如果$n$可以被$400$整除，那么是闰年。
• 如果$n$不可以被$100$整除但是可以被$4$整除，那么是闰年。

否则就不是闰年。使用if-else语句判断即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {int n;cin >> n;if (n % 4 != 0) {cout << 365 << endl;} else if (n % 400 == 0) {cout << 366 << endl;} else if ((n % 100 != 0) && n % 4 == 0) {cout << 366 << endl;} else {cout << 365 << endl;}return 0;
}

B.Second Best（模拟）

题意：

给你一个长度为$N$的整数序列$A=(A_1,\dots ,A_N)$。这里的$A_1,A_2,\dots ,A_N$都是不同的。

在$A$中，哪个元素是第二大元素？

分析：

按照题意，使用map、pair或结构体对元素进行排序即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 1000100;struct s {int x, id;bool operator<(const s &r) const {return x > r.x;}
} a[N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> a[i].x;a[i].id = i;}sort(a + 1, a + n + 1);cout << a[2].id << endl;return 0;
}

C.Transportation Expenses（二分答案）

题意：

有$N$人参加一项活动，第$i$个人的交通费用是$A_i$日元。

活动组织者高桥决定设定交通补贴的最高限额为$x$。第$i$个人的补贴为$\min (x,A_i)$日元。这里，$x$必须是一个非负整数。

高桥的预算为$M$日元，他希望所有$N$人的交通补贴总额最多为$M$日元，那么补贴限额$x$的最大可能值是多少？

如果补贴限额可以无限大，输出infinite。

分析：

本题我们分情况讨论，首先考虑答案为无限大的情况。对于这种情况可以先计算序列的总和和$M$比较，如果这个都小于等于$M$，那么肯定答案是无穷大。

对于不是无穷大的情况，考虑尝试枚举一个$x$，然后对于每一个$x$判断是否满足题目条件，然后记录最大的$x$，时间复杂度$O(NM)$。

对$x$的枚举我们采用二分，然后来判断，题目要求$x$的最大值，可以发现若此时的$x$为最大，那么对于每一个$k\le x$都可以满足题条件，而对于每一个$k\ge x$都不能满足题目条件，满足单调性。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 200005;
LL n, m, a[N], ans = -1e17;bool check(LL x) {LL res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)res += min(a[i], x);return (res <= m);
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];if (check(1e17)) {cout << "infinite" << endl;return 0;}LL l = 0, r = m;while (l <= r) {LL mid = (l + r) >> 1;if (check(mid)) {ans = mid;l = mid + 1;} elser = mid - 1;}cout << ans << endl;return 0;
}

D.AtCoder Janken 3（动态规划）

题意：

高桥和青木玩了$N$次剪刀石头布。注：在这个游戏中，石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头。

青木的动作由长度为$N$的字符串$S$表示，字符串由"R"、"P"和"S"组成。$S$中的第$i$个字符表示青木在第$i$个对局中的出招：“R"表示"石头”，“P"表示"布”，“S"表示"剪刀”。

高桥的出招满足以下条件：

• 高桥从未输给过青木。
• 对于$i=1,2,\dots ,N-1$，高桥在第$i$场对局中的出招与他在第$(i+1)$场对局中的出招不同。

确定高桥可能赢得的最大对局数。

可以保证存在一个满足上述条件的高桥出招顺序。

分析：

因为相邻两场对局出招不同，发现之前的对局存在后效性，考虑动态规划。

设$d{p}_{i,[0/1/2]}$表示当前为第i场对局，当前出的拳是$R,P,S$，最多可以赢多少局。

特殊计算一下$d{p}_{1,[0/1/2]}$，$d{p}_{i,j}$的值可以通过$d{p}_{i-1,k}$转移来当且仅当$k\ne j$，对于会输的出招直接赋值为一个极小值，取一个最大值然后增加对答案的贡献即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 1000100;
const int MIN_INF = -2e9;
int n;
int dp[N][3];int main() {cin >> n;string s;cin >> s;s = ' ' + s;if (s[1] == 'R') {dp[1][0] = 0;dp[1][1] = 1;dp[1][2] = MIN_INF;} else if (s[1] == 'P') {dp[1][0] = MIN_INF;dp[1][1] = 0;dp[1][2] = 1;} else {dp[1][0] = 1;dp[1][1] = MIN_INF;dp[1][2] = 0;}for (int i = 2; i <= n; ++i) {if (s[i] == 'R') {dp[i][0] = max({dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]});dp[i][1] = max({dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]}) + 1;dp[i][2] = MIN_INF;} else if (s[i] == 'P') {dp[i][0] = MIN_INF;dp[i][1] = max({dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]});dp[i][2] = max({dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]}) + 1;} else {dp[i][0] = max({dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]}) + 1;dp[i][1] = MIN_INF;dp[i][2] = max({dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]});}}cout << max({dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2]}) << endl;return 0;
}

E.Xor Sigma Problem（数学）

题意：

给你一个长度为$N$的整数序列$A=(A_1,\dots ,A_N)$。求以下表达式的值：

$\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^N(A_i\oplus A_{i+1}\oplus \dots \oplus A_j)$

分析：

看到异或我们考虑拆位计算答案。设当前枚举到第$k$位，这一位有$i$个0，$j$个1，因为异或为$1$要求两个异或的数互不相同，所以这一位对答案的贡献即为$i\times j\times 2^k$。

将所有位对答案的贡献累加即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 200001;
LL a[N], s[N];int main() {LL n;cin >> n;for (LL i = 1; i <= n; ++i) {cin >> a[i];s[i] = a[i];a[i] ^= a[i - 1];}LL res = 0;for (LL k = 0; k < 30; ++k) {LL cnt = 0;for (LL j = 0; j <= n; ++j)cnt += a[j] >> k & 1;res += cnt * (n - cnt + 1) * (1LL << k);}for (LL i = 1; i <= n; ++i)res -= s[i];cout << res << endl;return 0;
}

赛后交流

在比赛结束后，会在交流群中给出比赛题解，同学们可以在赛后查看题解进行补题。

群号： 704572101，赛后大家可以一起交流做题思路，分享做题技巧，欢迎大家的加入。