leetcode169. 多数元素，摩尔投票法附证明

leetcode169. 多数元素

给定一个大小为 n 的数组 nums ，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

示例 1：
输入：nums = [3,2,3]
输出：3

示例 2：
输入：nums = [2,2,1,1,1,2,2]
输出：2

题目分析

这道题目要求我们在一个整数数组中找到众数，即出现次数超过数组长度一半的元素。题目保证这样的元素必定存在。

注意，此题中的众数指的是在数组中出现次数 大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

算法介绍

这里使用的是摩尔投票算法（Boyer-Moore Voting Algorithm）。这个算法的核心思想是通过相互抵消的方式，找到数组中出现次数超过一半的元素。
候选者选择：遍历数组，维护一个候选元素candidate和计数器count。当count为0时，将当前元素设为candidate，并将count置为1。如果遇到相同的元素，则增加count；如果遇到不同的元素，则减少count。

算法证明

推论一

假设数组中存在一个众数majority，其出现次数为m，数组长度为n。由于majority是众数，所以m > n/2。

• 对于每个非众数元素，我们将其票数记为-1。
• 对于每个众数元素，我们将其票数记为+1。

由于majority出现的次数超过一半，所以所有数字的票数和sum必定大于0。

推论二

假设数组的前a个数字的票数和为0，即所有非众数元素已经被抵消。

• 由于众数majority出现m次，其中m > n/2，所以剩余的n-a个数字中，至少还剩下m-a个众数元素。
• 因此，剩余数字的票数和仍然大于0，即后n-a个数字的众数仍为majority。

算法步骤

候选者选择

1. 遍历数组：逐个检查数组中的每个元素。
2. 维护候选元素和计数器：使用candidate存储当前可能的众数，count记录其出现次数。
3. 抵消不同元素：当遇到与candidate相同的元素时，增加count；当遇到不同的元素时，减少count。当count变为0时，更换candidate。

流程图

具体代码

class Solution {
public:int majorityElement(vector<int>& nums) {int candidate = -1;int count = 0;for (int num : nums) {if (num == candidate)++count;else if (--count < 0) {candidate = num;count = 1;}}return candidate;}
};

算法分析

• 时间复杂度：O(n)，其中n是数组的长度。算法只需要遍历数组两次。
• 空间复杂度：O(1)，算法只需要常数级别的额外空间。
• 易错点：在维护candidate和count时，需要注意逻辑的准确性，特别是在count为0时更换candidate。
• 注意点：题目已经保证众数存在，这是使用摩尔投票算法的前提。

相似题目

题目	链接
求众数 II	在一个整数数组中找到所有出现次数超过 ⌊ n/3 ⌋ 次的元素。
检查一个数是否在数组中占绝大多数	判断一个数在一个排序数组中是否出现次数超过一半。