数据结构—— 初识二叉树

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是由根和子树构成

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

1. 树有一个特殊的结点，称为根结点，根结点就是第一个节点

2. 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个子节点

3. 树是递归定义的

4.在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树

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1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度：如上图：A的为6（A B C D E F G）

重要部分：

* 叶节点或终端节点：子节点为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

* 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等结点为分支节点

* 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

* 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子节点

* 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

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了解一下：

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6（A B C D E F G）

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

堂兄弟结点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林（并查集，文件系统）

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1.3 树的表示方法

树结构存储表示起来比较麻烦，既然保存值域，也要保存结点和结点之间

这里使用 "左孩子右兄弟 "表示法（子节点和兄弟节点）

也就是说不管有多少个孩子，每个节点只指向第一个孩子

1.A指向子节点B，A没有兄弟节点，指向空 

2.B指向子节点D，B指向兄弟节点C，C没有兄弟节点，指向空 

3.D没有子节点，D指向兄弟节点E，E指向兄弟节点F，F没有兄弟节点,指向空

4.E指向子节点H，H指向兄弟节点I，I没有兄弟节点，指向空 

struct TreeNode
{int val;struct Node* leftchild;struct Node* rightBrother;};

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2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

                                                1. 或者为空

                                                2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 

                                                3. 二叉树不存在度大于2的结点

                                                4.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

                                          

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2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树

也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k - 1)，则它就是满二叉树

 

 2. 完全二叉树：前h-1层都是满的，最后一层不是满的，最后一层从左到右必须是连续的，如果不是连续的那么就不是完全二叉树

连续的：

不连续的： 

 满二叉树是一种特殊的完全二叉树，但是完全二叉树不是满二叉树

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2.3 满二叉树和完全二叉树的位置计算

假设父节点在数组中的下标为i，那么：

                                                        1.左孩子在数组中的下标为：2*i+1 

                                                        2.右孩子在数组中的下标为：2*i+2

假设孩子在数组中的下标为i，那么：

                                                        父在数组中的下标为：（i - 1）/ 2

在这里不区分左孩子和右孩子，因为除以会向下取整

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3. 堆的概念及结构

3.1 

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值

2. 堆在逻辑上是一棵完全二叉树，物理上就是数组

3. 堆分为小堆和大堆

大堆：a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 > = 儿子

特点：根是最小

        

小堆： a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 < = 儿子

特点：根是最大

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3.2 堆的实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;//堆的初始化
void HPInit(HP* php);//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php);//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//堆的删除
void HPPop(HP* php);// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php);//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php);void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);void AdjustUp(HPDataType* a, int child);void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

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Heap.c分解分析

堆的初始化

//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的销毁

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的插入 

//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断内存是否满if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//插入数据之后需要向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

堆的插入逻辑交换图表（向上调整）

堆的插入数据之后是否向上调整

//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//孩子/2找到父节点int parent = (child - 1) / 2;//孩子大于0就进入/继续while (child > 0){//如果孩子小于父亲if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//交换child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

堆的交换

//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}

堆的删除：一般是删除根

思路：排序删除：交换根和最后一个子节点的位置，再删除根，之后再进行向下调整算法（向下调整的前提是左右子树都是大小堆），然后根据左右子树的大小选择小的那个进行调整

//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换下标为0的根和末尾数据的位置Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;//删除//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

堆的向下调整

思路：先假设左孩子小，然后找出小的那个孩子，再判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 

                                          向下调整的前提是左右子树都是大小堆                                                

//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{// 先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;// child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了while (child < n) {// 找出小的那个孩子//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}//if (a[child] > a[parent]) 大堆//孩子小于父亲if (a[child] < a[parent])//小堆{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;//赋予//继续算左孩子child = parent * 2 + 1;}else{break;}
}

取堆顶的数据

// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}

堆的判空

//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

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Heap.c全部代码

#include"Heap.h"//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断内存是否满if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//插入数据之后需要向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//孩子/2找到父节点int parent = (child - 1) / 2;//孩子大于0就进入/继续while (child > 0){//如果孩子小于父亲if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//交换child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换下标为0的根和末尾数据的位置Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;//删除//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{// 先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;// child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了while (child < n) {// 找出小的那个孩子//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}//if (a[child] > a[parent]) 大堆//孩子小于父亲if (a[child] < a[parent])//小堆{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;//赋予//继续算左孩子child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

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