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【傅里叶分析】复数基础知识

【傅里叶分析】复数基础知识

  • 复数
  • 复数的几何意义
    • 与点的对应
    • 与向量的对应
  • 复数与极坐标
    • 辐角与辐角主值
    • 三角函数
  • 参考文献

本文参考了网上的其他文章,已在文末参考文献中列出;如有侵权,请联系我删除。

复变函数是傅里叶分析的基础,而复数是复变函数的基础。本文介绍了一些基础的关于复数的知识。

复数

对任意两个实数 x , y x, y x,y,有复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy,其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=1 i i i称为虚部。

也可以将复数 z z z的实部表示为 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x,虚部表示为 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y

复数的几何意义

与点的对应

如果以复数的实部为横轴、虚部为纵轴建立坐标系,则这个坐标系称为复平面

这样复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi就和复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)一一对应

复平面的横坐标称为实轴,纵坐标表称为虚轴

与向量的对应

复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi还可以和平面向量 O Z → = ( x , y ) \overrightarrow{OZ}=(x,y) OZ =(x,y)一一对应(实数0与零向量对应)

因此复数的模和向量的模计算方式相同。复数 z = x + y i z=x+yi z=x+yi的模 ∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z|=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2

复数与极坐标

辐角与辐角主值

表示复数 z z z的位置,也可以借助极坐标 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)。那么 r r r就是复数的模,而 θ \theta θ则为复数与实轴正方向的夹角,且满足:
tan ⁡ θ = y x \tan \theta=\frac{y}{x} tanθ=xy
θ \theta θ称为复数 z z z辐角,记为:
θ = A r g z \theta = {\rm Arg} \, z θ=Argz
正切函数是周期函数,任一非零复数都有无数个辐角,所以 A r g z {\rm Arg}\,z Argz实际上是一个集合。但是该集合中只有一个 θ \theta θ满足条件:
− π < θ < π {-} \pi < \theta < \pi π<θ<π
将这个 θ \theta θ记为 a r g z {\rm arg}\, z argz,即辐角主值或主辐角。
辐角的集合则可以表示为 A r g z = { a r g z + 2 k π ∣ k ∈ Z } {\rm Arg} \, z=\{{\rm arg}\, z+2k \pi \,|\, k \in \mathbf{Z}\} Argz={argz+2kZ}

三角函数

在极坐标中,复数 z = x + i y z=x+iy z=x+iy在实轴和虚轴上的值都可以用三角函数来表示:
{ x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ \begin{cases} x=r\, \cos \theta \\ y=r\, \sin \theta \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ
由此,复数本身也可以用三角函数来表示:
z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) z=r(\cos \theta + i \, \sin \theta) z=r(cosθ+isinθ)
极坐标中的复数

参考文献

  1. 复变函数:复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数
  2. Oi Wiki网-数学-复数

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