【傅里叶分析】复数基础知识

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复变函数是傅里叶分析的基础，而复数是复变函数的基础。本文介绍了一些基础的关于复数的知识。

复数

对任意两个实数$x,y$，有复数$z=x+iy$，其中$i^2=-1$，$i$称为虚部。

也可以将复数$z$的实部表示为$Re(z)=x$，虚部表示为$Im(z)=y$

复数的几何意义

与点的对应

如果以复数的实部为横轴、虚部为纵轴建立坐标系，则这个坐标系称为复平面

这样复数$z=x+yi$就和复平面上的点$P(x,y)$一一对应

复平面的横坐标称为实轴，纵坐标表称为虚轴

与向量的对应

复数$z=x+yi$还可以和平面向量$\overrightarrow{OZ}=(x,y)$一一对应（实数0与零向量对应）

因此复数的模和向量的模计算方式相同。复数$z=x+yi$的模$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

复数与极坐标

辐角与辐角主值

表示复数$z$的位置，也可以借助极坐标$(r,\theta )$。那么$r$就是复数的模，而$\theta$则为复数与实轴正方向的夹角，且满足：
$$\tan \theta =\frac{y}{x}$$
$\theta$称为复数$z$的辐角，记为：
$$\theta =\mathrm{Arg}z$$
正切函数是周期函数，任一非零复数都有无数个辐角，所以$\mathrm{Arg}z$实际上是一个集合。但是该集合中只有一个$\theta$满足条件：
$$-\pi <\theta <\pi$$
将这个$\theta$记为$\arg z$，即辐角主值或主辐角。
辐角的集合则可以表示为 A r g z = { a r g z + 2 k π ∣ k ∈ Z } {\rm Arg} \, z=\{{\rm arg}\, z+2k \pi \,|\, k \in \mathbf{Z}\} Argz={argz+2kπ∣k∈Z}

三角函数

在极坐标中，复数$z=x+iy$在实轴和虚轴上的值都可以用三角函数来表示：
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$
由此，复数本身也可以用三角函数来表示：
$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

参考文献

1. 复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数
2. Oi Wiki网-数学-复数