3007. 价值和小于等于 K 的最大数字（24.8.21）

前言

感谢皇家笨阿宝的指导

题目

给你一个整数 k 和一个整数 x 。整数 num 的价值是它的二进制表示中在 x，2x，3x 等位置处设置位的数目（从最低有效位开始）。下面的表格包含了如何计算价值的例子。

X	num	Binary Representation	Price
1	13	000001101	3
2	13	000001101	1
2	233	011101001	3
3	13	000001101	1
3	362	101101010	2

num 的 累加价值 是从 1 到 num 的数字的 总 价值。如果 num 的累加价值小于或等于 k 则被认为是 廉价的。

请你返回 最大 的廉价数字。

示例 1：

输入：k = 9, x = 1
输出：6
解释：由下表所示，6 是最大的廉价数字。

X	num	Binary Representation	Price	Accumulated Price
1	1	001	1	1
1	2	010	1	2
1	3	011	2	4
1	4	100	1	5
1	5	101	2	7
1	6	110	2	9
1	7	111	3	12

示例 2：

输入：k = 7, x = 2
输出：9
解释：由下表所示，9 是最大的廉价数字。

X	num	Binary Representation	Price	Accumulated Price
2	1	0001	0	0
2	2	0010	1	1
2	3	0011	1	2
2	4	0100	0	2
2	5	0101	0	2
2	6	0110	1	3
2	7	0111	1	4
2	8	1000	1	5
2	9	1001	1	6
2	10	1010	2	8

提示：

1 <= k <= 1015
1 <= x <= 8

解题思路

见代码内

代码

class Solution {
public:long long findMaximumNumber(long long k, int x) {//二分查找的过程long long left=1,right=(k+1)<<x;while(left<right){long long mid=(left+right+1)/2;if(Sum(x,mid)>k){//如果比 k 大 说明答案在mid左边right=mid-1;}else{//如果比 k 小 说明在mid右边left=mid;}}return left;}
//求解从 1 到 num 所有整数在二进制表示下在 i 位置处设置位的数字之和
/*
规律：1 2 3 4 5 6
0：         0 0 0 0 0 0
1：         0 0 0 0 0 1
2：         0 0 0 0 1 0
3：         0 0 0 0 1 1
4：         0 0 0 1 0 0
5：         0 0 0 1 0 1
6：         0 0 0 1 1 0
7：         0 0 0 1 1 1
8：         0 0 1 0 0 0
9：         0 0 1 0 0 1此处从 0 开始列举，由于 0 的贡献值为 0 ，因此对本题无影响
数学规律：第 i 位的 0 ，1 存在周期性变化对于 i 位置 先是 2^(i-1) 个 0 后是 2^(i-1) 个 1得出周期为 2^(i-1)+2^(i-1) 即 2^i*/
//先得到二进制有几位（per）：1LL<<x
//对于在一个完整周期（ T ）内的贡献值是： T/2
//对于在一个不完整周期（ T ）内的贡献值是： 
//           -不超过 T/2 ，贡献值为 0 ；
//           -超过 T/2 ，则是超过部分个 1 ，即最后一个不完整周期到 T/2 的距离    long long Sum_per(int x,long long num){long long per=1LL<<x;long long ans=per/2*(num/per);if(num%per>=per/2){ans+=num%per-(per/2-1);}return ans;}
//是 num 的累加价值long long Sum(int x,long long num){long long ans=0;int l=64-__builtin_clzll(num);//求出数的二进制的位数（除去前导 0 ）//位数不可能超过num的最高位：//假设位数为：x 2x 3x 4x ...nx//则 nx<= lfor(int i=x;i<=l;i+=x){//搜索在第 i 位的累加之和ans+=Sum_per(i,num);}return ans;}
};