数学建模学习（116）：全面解析梯度下降算法及其在机器学习中的应用与优化

1.梯度下降简介

一种为机器学习模型奠定基础的优化算法是梯度下降法（Gradient Descent，简称GD）。梯度下降是一种简单而有效的工具，适用于训练此类模型。正如其名称所示，梯度下降涉及“向下移动”。我们在一个景观中选择一个方向，并沿着该方向采取每一步，让我们“向下走”。步长的大小取决于坡度（即梯度）的陡峭程度。在机器学习（ML）模型中，梯度下降估计误差的梯度，帮助最小化成本函数。很少有优化方法能够像梯度下降一样计算效率高。GD 还为深度学习模型的优化奠定了基础。

在参数无法通过线性代数方法解析计算的情况下，必须通过优化来搜索时，梯度下降法找到了它最好的用武之地。该算法通过沿着最陡下降方向迭代地移动来工作。在每次迭代中，模型参数（如线性回归中的系数和神经网络中的权重）都会更新。模型将持续更新其参数，直到成本函数收敛或达到最小值（即图1.1a中坡度的底部）。

1.1 梯度下降的数学原理

梯度下降法的目标是通过迭代的方法最小化目标函数 J ( θ