海山数据库(He3DB)+AI：（一）神经网络基础

1 引言

神经网络可以被视为一个万能的拟合器，通过深层的隐藏层实现输入数据到输出结果的映射。神经网络的思想源于对大脑的模拟，在其发展过程中历了三大浪潮：感知器时代（1940s-1960s）、BP算法时代(1980-1995))和深度学习时代(2006-至今)。在深度学习时代，随着众多研究学者的投入和硬件的发展，从结构较为简单的前馈神经网络，到针对图像数据的卷积神经网络，到处理序列数据的循环神经网络，再到捕捉长距离依赖的transformer，神经网络在多个任务上展现出强大的生命力。2022年，基于transformer架构的ChatGPT的出现，掀起了一场大模型浪潮，在大数据、大参数量的训练下，模型产生了涌现现象，在语言理解、逻辑推理等能力上展现惊艳的能力。本文以最简单的前馈神经网络（Feed Forward Neural Network,FFNN）为例，首先介绍神经网络的基本框架，然后介绍模型的训练过程，为本系列奠定基础。

2 基本结构

2.1 神经元

神经元是构成前馈神经网络的基本组件，其基本原理是通过对输入进行加权、激活，实现信息的非线性处理和传递，一个神经元的结构如图1所示，其数学表达式如公式1所示。

图1 神经元

$$h_{w,b}(x)=f(w^{T}x+b)\text{\hspace{1em}(1)}$$

加权：对于输入的多个信号，每个信号都关联了一个权重，该权重反映了输入信号对于输出的重要性。该权重在初始时被随机初始化，权重的值即模型训练的目的。对输入信号进行加权和偏置计算后，得到线性组合结果。

激活：激活将线性转化为非线性，使得能够拟合更复杂的函数。ReLu函数是最常用的激活函数之一，其数学表达式如公式2所示，当输入大于0时，输出不变，当输入小于0时，输出为0。ReLu函数以非常简单的方式增加了网络的非线性，具有易于求导的优点，使得模型在训练时具有较快的速度。
$$ReLu(x)=max(0,x)\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.2 模型结构

基于单个神经元，即可构建模型。前馈神经网络主要可分为三个部分：输入层、隐藏层和输出层，如图2为一个较简单的前馈神经网络：

图2 一个简单的神经网络

输入层：与外界数据的直接接口，接收并传递数据到网络的下一层。

隐藏层：隐藏层可以有多层，每层中可以设置多个神经元。隐藏层实现对输入数据的特征提取，在学习过程中不断调整神经元的权重和偏置值，寻找输入数据到输出结果的最优表示。

输出层：网络的最后一层，给出最终的预测结果。输出层的结构与具体任务相关，在分类任务中，一般使用softmax函数得到概率分布，在回归任务中，可直接计算预测值。（分类任务对应离散，回归任务对应连续。）

从数学表达式来看，隐藏层的输出如公式3所示：
$$h_i=\sigma (w_{1i}^1\times x_1+w_{2i}^1\times x_2+b)\text{\hspace{1em}(3)}$$

输出层的输出公式如公式4所示：
$$y_i=\sigma (w_{1i}^2\times h_1+w_{2i}^2\times h_2+w_{3i}^2\times h_3+w_{4i}^2\times h_4+b)\text{\hspace{1em}(4)}$$

公式3和公式4即模型前向计算的过程。

3 训练过程

训练过程即通过大量的数据样本，对模型中的权重及偏置参数进行学习，实现输入数据到输出结果的最优表示。

在模型的训练过程中，还包括三个部分：损失函数、反向传播算法和最优化方法。损失函数，又称为代价函数，反映了模型预测结果到目标结果之间的差值。反向传播算法基于损失函数计算网络中所有权重参数的梯度，这个梯度反馈给最优化方法，用来更新权重以最小化损失函数，使得预测结果不断接近目标结果。

3.1 损失函数

根据具体任务选择损失函数。在回归任务中，常用的损失函数有均方差损失函数，在分类任务中，常用的损失函数有交叉熵损失函数。

均方差损失函数： 计算预测值和目标值之间差值的平方和，来衡量预测的准确性，如公式5所示。
$$MSE=\frac{1}{N}\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中，$y_i$为目标值，${\hat{y}}_i$为预测值，$N$为样本数量。

交叉熵损失函数： 交叉熵损失函数衡量预测结果的概率分布和真实标签的的差异，如公式6所示。
$$CE=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left[y_i\ln {\hat{y}}_i+\left(1-y_i\right)\ln (1-{\hat{y}}_i)\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中，$y_i$为真实标签，${\hat{y}}_i$为预测的概率分布，$N$为样本数量。

3.2 反向传播

假设使用如图1所示的神经网络，损失函数为公式1，那么基于链式法则可以计算出神经网络中每一个参数的梯度。

（1）输出层的梯度
$$\frac{\partial CE(W,b)}{\partial w^{(2)}}=\frac{\partial CE(W,b)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w^{(2)}}$$

（2）隐藏层的梯度

$$\frac{\partial CE(W,b)}{\partial w^{(1)}}=\frac{\partial CE(W,b)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial w^{(1)}}$$

在更深的神经网络中，可通过递推由后一层的梯度计算出前一层的梯度，梯度从后往前进行计算，因此称为反向传播。

3.3 基于梯度的优化算法

在最优化问题中，可分为凸优化和非凸优化，其中凸优化可寻找到全局最优解，非凸优化问题复杂难以求解，只有通过各种策略和方法寻找近似解和局部最优解。神经网络的优化问题属于非凸优化问题，常用的优化算法有最速梯度下降法。由反向传播算法得到了每个参数的梯度，梯度反映了参数的调整方向，优化算法基于这些梯度，对权重值进行调整，使得损失值下降，预测值不断接近目标值。

最速下降法的步骤如下：

1.参数初始化：选择初始参数值$x(0)$，可以是随机的或根据问题特点进行初始化。设定终止精度ε>0，以及迭代次数；

2.计算梯度：由反向传播算法得到梯度;

3.更新参数：取负梯度为下降方向（正梯度为损失值增长的方向），设置步长$\alpha$（或学习率），沿着该方向移动步长；

4.阈值判断：如果所有W，b的变化值都小于停止迭代阈值ϵ，则跳出迭代循环，否则进入步骤2；

4.输出结果：输出最终的权重参数。

4 总结

本文介绍了一种较为简单的前馈神经网络，介绍其基本组件、模型结构、前向计算流程，并简单介绍了模型的训练原理。前馈神经网络是大多数深度模型的基石，在此基础上演化出更加结构更加复杂的深度模型，如在前馈神经的网络的基础上根据图像数据的特征，使用稀疏交互、等变表示和参数共享的思想设计出卷积神经网络。在transformer中，前馈神经网络被用来实现用自注意力机制，捕捉输入序列中的长程依赖关系，并更好地理解输入序列中的语义信息。