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蓝桥杯 - 求组合数【C(a,b)】+ 卡特兰数

文章目录

  • 💬前言
  • 885. 求组合数 I C(m,n) 【dp】
  • 886 求组合数 II 【数据大小10万级别】 【费马小定理+快速幂+逆元】
  • 887. 求组合数 III 【le18级别】 【卢卡斯定理 + 逆元 + 快速幂 】
  • 888.求组合数 IV 【没有%p -- 高精度算出准确结果】 【分解质因数 + 高精度乘法 --只用一次高精度提高运行效率】
  • 889.满足条件的01序列 【卡特兰数-用法极多!】

💬前言

💡本文以组合数多种写法,按不同数据范围结合不同数论知识的组合数末班
组合数是高频的数论考点,掌握组合数是必要的!
如果对您有帮助的话还请动动小手 点赞👍,收藏⭐️,关注❤️

组合数公式:百度文库链接

在这里插入图片描述

885. 求组合数 I C(m,n) 【dp】

题目描述 :
给定 n 组询问,每组询问给定两个整数 a,b,请你输出 C(b,a) mod (109+7) 的值。
数据范围 :
1 ≤ n≤10000,
1 ≤ b ≤ a ≤ 2000 【审题C(b,a) a >= b】
输入输出格式 :
输入
第一行包含整数 n。
接下来 n 行,每行包含一组 a 和 b。
输出
共 n 行,每行输出一个询问的解。
输入输出样例 :
输入
3
3 1
5 3
2 2
输出
3
10
1

思路:DP递推式预处理 C(a,b)
C(a,b) = C(a-1,b) + C(a-1,b-1)
选苹果 - 分类 – 每个包含/不包含
【到a的情况对一个未选择的苹果有两种结果,第a个选它,或不选它,选其他的(那么就要从它之外的再选一个)】
[离散数学-接近实际问题-离散-高等代数 - 数学分析 - 均需三学期 !!!]

const int N = 2010 , mod = 1e9 + 7;
int c[N][N];void init()
{for(int i = 0;i < N;i ++)for(int j = 0;j <= i;j ++)if(!j) c[i][j] = 1; //定义: C(a,0) = 1 else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1] % mod);	//DP 选/不选 
} int main()
{init();int n;scanf("%d",&n);while(n --){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",c[a][b]);}return 0;
}

886 求组合数 II 【数据大小10万级别】 【费马小定理+快速幂+逆元】

题目描述:
给定n组询问,每组询问给定两个整数a,b,请你输出C(a,b) mod (10^9+7)的值。
输入格式
第一行包含整数n。接下来n行,每行包含一组a和b。
输出格式
共n行,每行输出一个询问的解。
数据范围
1≤n≤100000,1≤b≤a≤105
输入样例:
3
3 1
5 3
2 2
输出样例:
3
10
1

思路: 【即C(a,b)[a>=b]组合公式展开 —> C(a-1,b) * C(a-1,b-1) ,分别求分母和分子】
结合代码:
fact[i] = i! % p;
infact[i] = (i!)的逆元 % p 【除 ==> 乘逆元(快速幂 – 费马小定理)】 【分母 】
C( a , b ) % p = fact[a % p] % p * infact[b - a] % p * infact[b] % p

Cab=a!b!(a−b)!C^b_a = \dfrac{a!}{b!(a-b)!} Cab=b!(ab)!a!

typedef long long LL;
const int N = 100010,mod = 1e9 + 7;int fact[N],infact[N]; //i! :阶乘 , i阶乘的逆元 : infact[i]int qmi(int a,int k,int p) //数值大就LL 一般都是!!! 
{int res = 1; //乘除法的初始值 while(k){if(k % 2) res = (LL)res * a % p; //强转      也可以k & 1 表示奇数就行 a = (LL)a * a % p;k >>= 1;}return res; 
}int main()
{fact[0] = infact[0] = 1; //乘除法的初始值 for(int i = 1;i < N;i++){fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;//i的阶乘 infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i,mod - 2,mod) % mod; //a % p 的逆元 的幂 = p-2 ,a逆为a^p-2^ }int n;scanf("%d",&n);while(n --){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",(LL)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod);  //%f等于0原因分母求解过程中0,后一直为0,最后相乘结果为0 }return 0;
}

887. 求组合数 III 【le18级别】 【卢卡斯定理 + 逆元 + 快速幂 】

给定n组询问,每组询问给定三个整数a,b,p,其中p是质数,请你输出C b上a下 mod p的值。
输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行,每行包含一组a,b,p。
输出格式
共n行,每行输出一个询问的解。
数据范围
1≤n≤20,
1≤b≤a≤1e18,
1≤p≤105,
输入样例:
3
5 3 7
3 1 5
6 4 13
输出样例:
3
3
2

解题思路:
a和b的取值到了1018 改用:
卢卡斯定理: C ( a , b ) % p = C( a%p , b%p ) * C( a/p , b/p ) % p ; (p为质数)


#include<algorithm>typedef long long LL;
int p;int qmi(int a,int k) //p是全局变量不用传进来,直接用 
{int res = 1;while(k){if(k % 2) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p; k >>= 1;}return res;
}
//特别注意题目给定输入的a,b顺序 
int C(int a,int b)  //组合数 C(a,b)  == b! / (a-b)! * a!      ******** 
{int res = 1;for(int i = 1,j = a ;i <= b;i++,j--) // i为b!  ,j = a!  ,qmi求i逆元 为  {res = (LL)res * j % p; //除 , 乘上i的逆元 res = (LL)res * qmi(i,p-2) % p; }return res;
}int lucas(LL a,LL b) //递归    //传进的数是LL类型 
{if(a < p && b < p) return C(a,b);return (LL)C(a % p,b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}int main()
{int n;cin >> n;while(n --){LL a, b;cin >> a >> b >> p ;cout << lucas(a,b) << endl; }
}

888.求组合数 IV 【没有%p – 高精度算出准确结果】 【分解质因数 + 高精度乘法 --只用一次高精度提高运行效率】

较难

题目描述:
输入a,b,求C(a,b)的值。注意结果可能很大,需要使用高精度计算。 【a >= b】
输入格式
共一行,包含两个整数a和b。
输出格式
共一行,输出C(a,b)的值。
数据范围
1≤b≤a≤5000
输入样例:
5 3
输出样例:
10

*公式:C(a,b) = a! / ( b! (a - b)! ) 【a >= b】
一般的处理方式:先把C(a,b)分解质因数,变成只有乘法的形式 --只要高精度乘法 -优化运算速度
质因子p个数运算: 分母里面的有多少个p, - 分子里的多少个p ,差值就是个数

阶乘当中包含p的个数 a! = 向下取整a/p1 [p1为p的倍数] +向下取整a/p2 [p2为p2的倍数] +向下取整a/p3 + …
质数的次数【p的各种倍数中拿出一个p 得出所有含有p的项中,p的总个数】【如p的k次方被加k次,不重复不漏算 】

#include<vector>
const int N = 5010;int primes[N],cnt;
bool st[N]; 
int sum[N];void get_primes(int n) //线性筛法 
{for(int i = 2;i <= n;i++){if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;//没有标记,需遍历i的质数的倍数 ,筛除 [第一次i为2,是质数先放入,后面3,5同理,4就被筛掉了]for(int j = 0 ;primes[j] <= n / i;j++) //遍历到 i == sqrt(n)  {st[primes[j] * i] = true; //筛除i的质数的倍数, if(i % primes[j] == 0) break; // i是pj 的倍数时,后面已经筛选完了,都是倍数,就不用继续了,结束 }}
}int get(int n,int p) //质因数n的个数 
{int res = 0;while(n){res += n / p;n /= p;}return res;
}vector<int> mul(vector<int> a,int b)
{vector<int> c;int t = 0;for(int i = 0;i < a.size();i++){t += a[i] * b;c.push_back(t % 10);t /= 10;}while(t)//t == 0结束 {c.push_back( t % 10);t /= 10;	}	return c;
}int main()
{int a,b;cin >> a >> b;get_primes(a);for(int i = 0;i < cnt;i++){int p = primes[i];sum[i] = get(a,p) - get(b,p) - get(a - b,p);}vector<int> res;res.push_back(1); for(int i = 0;i < cnt;i++) // 组合数公式== 质因数*对应次幂 for(int j = 0;j < sum[i];j++)res = mul(res,primes[i]); // (res = 1) * primes[i] 的^sum[i]^次方 for(int i = res.size() - 1;i >= 0;i --) printf("%d", res[i]);//vector遍历输出puts("");return 0;
} 

889.满足条件的01序列 【卡特兰数-用法极多!】

题目描述:
给定n个0和n个1,它们将按照某种顺序排成长度为2n的序列,求它们能排列成的所有序列中,
能够满足任意前缀序列中0的个数都不少于1的个数的序列有多少个。输出的答案对10^9+7取模。
输出格式
共一行,包含整数n。
输出格式
共一行,包含一个整数,表示答案。
数据范围
1≤n≤105
输入样例:
3
输出样例:
5

思路
路径转换成一个排列 ,如坐标从(0,0)开始走,0向右走,1向上走,到终点得到一个序列
当要求能走的坐标满足x >= y 时,ans = = 即所有不经过y = x + 1这条边的数 = = 所有走法 - 经过y = x + 1这条边的数
如(0,0)- - >(6,6) 必走12步且选6步向上走 y = x + 1等效,即C(12,6) - C(12,5)
扩展推
(0,0) 到 (n,n) 且不经过y = x + 1 即
Cat(n) = C(n+n , n) - C(n+n , n-1) = C(2*n,n) / (n + 1) 【卡特兰数】

【卡特兰数应用:栈的合法序列,括号匹配数量…

简记:  qmi(x的逆元) ,在%p条件下可以表示为  1 / x   
main : 
①②求C(2n,n)	①先求 a! / (a-b)!   for(int i = a;i > a - b;i --) res = (LL)res * i % mod; //a! / (a-b)!②再求 1 / b! for(int i = 1;i <= b;i ++) res = (LL)res * qmi(i,mod - 2,mod) % mod; ③最后再乘    1 / (n+1)     【用 n+1 的逆元表示】res = (LL)res * qmi(n + 1,mod - 2,mod) % mod;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;//取模为质数
//因为%p所以都可以int
ll qmi(int a,int k,int p)  //如果p不是质数,那么逆元只能用扩展欧几里得定理求!!! 
{int res = 1;while(k){if(k % 2) res = (LL)res * a % p;a = (LL)a * a % p;k >>= 1; }return res;
}int main()
{int n;cin >> n;int a = 2 * n , b = n; int res = 1;//求C(2*n,n)    = a! /  b!(a-b)!    【C(a,a-b) * b!逆元(分母)】for(int i = a;i > a - b;i --) res = (LL)res * i % mod; //a! / (a-b)!for(int i = 1;i <= b;i ++) res = (LL)res * qmi(i,mod - 2,mod) % mod; //C(2*n,n) / (n+1)res = (LL)res * qmi(n + 1,mod - 2,mod) % mod; // 乘(n+1) 逆元  == 1/(n+1) % pcout << res << endl;return 0;
}

一篇不同代码的卡特兰数01序列

【其他代码-dp法参考】

卡特兰数 : Cat(n)=C2nn(n+1)Cat(n) = \frac{C_{2n}^n}{(n + 1)}Cat(n)=(n+1)C2nn

带入试试是否满足样例!

卡特兰数的简单代码实现 【DP】

组合数dp法求卡特兰数
c[a][b]仅能求 1 <= a,b <= 2000
Cat(n)=C2nn−C2nn−1=C2nnn+1Cat(n)= {C_{2n}^n} - {C_{2n}^{n-1}} = \dfrac{C_{2n}^n}{n+1} Cat(n)=C2nnC2nn1=n+1C2nn

const int N = 1e4+10;
int c[N][N];  //存组合数 c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数  【a >= b】void init() //init数组,组合数
{
for (int i = 0; i < N; i ++ )for (int j = 0; j <= i; j ++ )if (!j) c[i][j] = 1;else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod; //逆推,取第b个时是最后一个还是前面的(最后一个取/不取) }int main()
{cin >> n;cout << c[2*n][n] / (n+1) ;return 0;
}

分解质因数法求组合数 —— 模板题 AcWing 888. 求组合数 IV
当我们需要求出组合数的真实值,而非对某个数的余数时,分解质因数的方式比较好用:
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + …
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘

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