用Python实现时间序列模型实战——Day 15: 时间序列模型的选择与组合

一、学习内容

1. 模型选择的标准与方法（如 AIC、BIC）

在时间序列建模中，模型的选择是非常重要的，常用的模型选择标准包括 AIC (Akaike Information Criterion) 和 BIC (Bayesian Information Criterion)。

• AIC (Akaike Information Criterion)： AIC 衡量模型的拟合优度和复杂度之间的权衡。其公式为：

其中  是模型的似然函数， 是模型参数的个数。AIC 值越小，模型越优。

• BIC (Bayesian Information Criterion)： BIC 是基于贝叶斯信息准则的模型选择标准，公式为：

其中  是样本量。BIC 比 AIC 更加倾向于选择简单模型。

2. 时间序列模型的组合预测方法

组合预测 是通过将多个不同模型的预测结果进行加权组合，期望能提高预测准确性。组合预测可以减轻单一模型的局限性，平滑不同模型的偏差。

常用的组合预测方法有：

• 简单平均法：不同模型的预测结果取平均值。
• 加权平均法：根据模型的表现，给予不同模型不同的权重。

3. 基于不同模型的加权组合预测

通过使用不同时间序列模型（如 ARIMA、SARIMA、ETS 模型等），可以进行加权组合预测。我们可以使用 AIC 或 BIC 值来决定各模型的权重，权重越低的模型被赋予更大的权重。

二、实战案例

使用不同时间序列模型进行组合预测，在这个案例中，我们将使用 ARIMA、SARIMA 和 Holt-Winters 三种不同的时间序列模型进行组合预测，并比较组合预测与单一模型的效果。

1. 生成模拟时间序列

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX# 生成模拟的时间序列数据
np.random.seed(42)
n_obs = 150
time = pd.date_range(start='2000-01-01', periods=n_obs, freq='M')
trend = 0.1 * np.arange(n_obs)
seasonal = 10 * np.sin(2 * np.pi * time.month / 12)
noise = np.random.normal(0, 1, n_obs)
data = trend + seasonal + noise# 创建数据框
ts_data = pd.DataFrame({'Date': time, 'Value': data})
ts_data.set_index('Date', inplace=True)# 绘制时间序列
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(ts_data['Value'], label='Original Data')
plt.title('Simulated Time Series Data')
plt.legend()
plt.show()

代码解释：

• 我们生成了一个含有趋势、季节性和噪声的模拟时间序列。

结果输出：

代码解释：

2. 模型拟合与预测

# 构建并拟合 ARIMA 模型
arima_model = ARIMA(ts_data['Value'], order=(1, 1, 1)).fit()
arima_forecast = arima_model.forecast(steps=12)
arima_aic = arima_model.aic# 构建并拟合 SARIMA 模型
sarima_model = SARIMAX(ts_data['Value'], order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12)).fit()
sarima_forecast = sarima_model.forecast(steps=12)
sarima_aic = sarima_model.aic# 构建并拟合 Holt-Winters 模型
hw_model = ExponentialSmoothing(ts_data['Value'], trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=12).fit()
hw_forecast = hw_model.forecast(steps=12)
hw_aic = hw_model.aic# 绘制各模型的预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(ts_data.index, ts_data['Value'], label='Original Data')
plt.plot(pd.date_range(start=ts_data.index[-1], periods=12, freq='M'), arima_forecast, label='ARIMA Forecast')
plt.plot(pd.date_range(start=ts_data.index[-1], periods=12, freq='M'), sarima_forecast, label='SARIMA Forecast')
plt.plot(pd.date_range(start=ts_data.index[-1], periods=12, freq='M'), hw_forecast, label='Holt-Winters Forecast')
plt.title('Forecasts of Different Models')
plt.legend()
plt.show()

代码解释：

• 使用 ARIMA、SARIMA 和 Holt-Winters 三种模型对时间序列数据进行拟合，并对未来 12 个月进行预测。
• 获取每个模型的 AIC 值，作为模型优劣的评估指标。

结果输出：

3. 加权组合预测

# 加权组合预测，权重根据 AIC 值反比计算
total_aic = 1/arima_aic + 1/sarima_aic + 1/hw_aic
arima_weight = (1/arima_aic) / total_aic
sarima_weight = (1/sarima_aic) / total_aic
hw_weight = (1/hw_aic) / total_aiccombined_forecast = arima_weight * arima_forecast + sarima_weight * sarima_forecast + hw_weight * hw_forecast

代码解释：

• 根据每个模型的 AIC 值，计算各自的权重。AIC 越小，模型越优，因此权重根据 AIC 值的倒数计算。
• 使用加权组合方法，对三个模型的预测结果进行组合，得到最终的组合预测。

4. 结果可视化

# 绘制组合预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(ts_data.index, ts_data['Value'], label='Original Data')
plt.plot(pd.date_range(start=ts_data.index[-1], periods=12, freq='M'), combined_forecast, label='Combined Forecast', linestyle='--')
plt.title('Combined Forecast Using ARIMA, SARIMA, and Holt-Winters')
plt.legend()
plt.show()# 打印各模型的AIC值和权重
print(f"ARIMA AIC: {arima_aic}, Weight: {arima_weight}")
print(f"SARIMA AIC: {sarima_aic}, Weight: {sarima_weight}")
print(f"Holt-Winters AIC: {hw_aic}, Weight: {hw_weight}")

代码解释：

• 绘制各个模型的单独预测结果，并绘制加权组合后的预测结果。

结果输出：

ARIMA AIC: 736.542904871795, Weight: 0.00031402143071579
SARIMA AIC: 417.8555476646313, Weight: 0.0005535172574926239
Holt-Winters AIC: 0.23149108424296116, Weight: 0.9991324613117917

 三、结果分析：

1. AIC 值比较：每个模型的 AIC 值用于评估模型的优劣。AIC 越小，模型的拟合效果越好。
2. 单一模型预测：我们分别绘制了 ARIMA、SARIMA 和 Holt-Winters 模型的预测结果。
3. 加权组合预测：最终的组合预测曲线结合了各个模型的优势，提供了更加稳健的预测结果。

四、总结

在本案例中，我们通过 AIC 值选择了最佳的模型，并通过加权组合预测方法，结合了 ARIMA、SARIMA 和 Holt-Winters 模型的预测结果。组合预测能够减轻单一模型可能带来的偏差，通常能提高预测准确性。